4.2　直线与圆的位置关系1

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1、直线与圆的位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切.③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①d＜R，直线和圆相交.②d=R，直线和圆相切.③d＞R，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.

2、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于A.B.C.1D.5解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x2+y2

3、－4x=0在点P（1，）处的切线方程为A.x+y－2=0B.x+y－4=0C.x－y+4=0D.x－y+2=0解法一：x2+y2－4x=0y=kx－k+x2－4x+（kx－k+）2=0.该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=.∴y－=（x－1），即x－y+2=0.解法二：∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又∵圆心为（2，0），∴·k=－1.解得k=，∴切线方程为x－y+2=0.答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（

4、0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.解析：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.又已知圆心在直线2x－y－7=0上，解得x=2，∴联立y=－3，2x－y－7=0.∴圆心为（2，－3），半径r=

5、AC

6、==.∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5.答案：（x－2）2+（y+3）2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－●典例剖析【例1】已

7、知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，问题可解.解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0.设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=.∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.而x1=3－2y1，x2=3－2y2，∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半

8、径r=.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圆心在直线x－y－4

9、=0上，定出参数λ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2=.评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（

10、x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：