第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

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1、第1讲平面向量的概念及其线性运算A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)．A.＝B.＝2C.＝3D．2＝解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答案　A2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0解析　依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选

2、A.答案　A3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)．A.B.C.D.解析　由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.故选A.答案　A4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析　若A成立，则λ＝

3、，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.答案　－16.如图，在矩形ABCD中，

4、

5、＝1，

6、

7、＝2，设＝a，＝b，＝c，则

8、

9、a＋b＋c

10、＝________.解析　根据向量的三角形法则有

11、a＋b＋c

12、＝

13、＋＋

14、＝

15、＋＋

16、＝

17、＋

18、＝2

19、

20、＝4.答案　4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个

21、不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥D，设D＝λ，所以⇒k＝－8.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点

22、P满足＝，则点P一定为三角形ABC的(　　)．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案　B2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)．A.B.C.D.解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，

23、选C.答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

24、－

25、＝

26、＋－2

27、，则△ABC的形状为________．解析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

28、＋

29、＝

30、－

31、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析　∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.答案　2三、解答题(共25分)5．(12分

32、)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB