数学物理方法复习提纲

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1、数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念:若在空间某一区域上定义了一个物理量,这个空间区域就称为场。所定义的物理量则称为场函数。如果场函数是标量,相应的场称为标量场;如果场函数是矢量,相应的场称为矢量场。如果场函数只与空间变量有关,而与时间变量无关时,相应的场称为定常场(或稳定场)。一个矢量场,如果场矢量始终平行于某一固定平面,且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变,这样的场称为平面场。平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。平面场中的一个区域实际

2、上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。平面场中的一个重要概念是复位势:。其中实部称为力(流)函数;虚部称为势函数。这两个函数的等值线分别称为力线和等势线;力线的方程为;等势线的方程为。要求:熟悉以上概念;给了场函数,会求复位势;给了复位势,会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。典型习题:写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程:(1);(2);(3);(4)第六章保角变换概念:如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数,则称该函数为这个区域上的单叶函数。函数单叶性的充要条件是:(1)函数在相应区域上解析;(2)函数

3、的导数不为零。单叶解析函数也称保角变换。保角变换具有保角性。分式线性变换是指,其中系数应满足。它把圆(或直线)变为圆(或直线);它具有保角性、保圆周性、保对称点性。分式线性变换可以分解为两个整线性变换和一个倒数变换。幂函数把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域;根式函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为顶点仍在原点、张角为的角形区域。指数函数把平行于实轴,宽度为的带状区域变为顶点在原点、张角为的角形区域;对数函数则把顶点在原点、张角为的角形区域变为平行于实轴,宽度为的带状区域。要求:熟悉以上概念;会按要求做变换。典型

4、习题:3,9第十一章概念:1、拉氏方程的球对称解是:,相应的直角坐标形式是:;它是除点外全空间上的调和函数;2、拉氏方程的轴对称解是:,相应的直角坐标形式是:;它是除点外全平面上的调和函数。3、第二格林公式:,这里是区域的边界面。4、调和函数的4条基本性质:1)成立公式2);3)4)极值原理:调和函数的最大值和最小值只能在边界上达到。5、定解问题称为球的狄利克雷问题,它的边界条件属于第一类边条件。它的解法称为镜象法(或格林函数法)。与之相应的格林函数是,其中。(是关于球面的反演点),。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是;在球坐标下,这个

5、解可以进一步转化成。6、在半径为的圆形区域上,二维拉氏方程的格林函数是=,其中。,,点是点关于圆周的对称点。相应区域上边值函数为的狄利克雷问题的解则是(或);这种问题的解法称为格林函数法(或镜象法)。7、格林函数的定义是:(或),其中满足。它具有对称性,即。8、常见区域上的格林函数:球:;圆:=;上半空间:;上半平面:=;要求:1、熟悉以上概念;记住要记的公式;2、会求球形区域、圆形区域、上半空间和上半平面上的格林函数。典型习题:1、试导出右半平面中的格林函数并求解。2、试导出右半空间中的格林函数并求解。第十三章付氏变换概念:付氏变换的定义:;

6、付氏变换的性质:线性性;乘积定理;卷积定理;象原函数的微商定理;象函数的微商定理基本解的定义:设有微分方程(或定解条件),则称方程的解为微分方程(或定解条件)的基本解。要求:1、熟悉付氏变换的定义;掌握付氏变换的运算性质;会证其中的两个微商定理。2、会用付氏变换求解初值问题;3、熟悉基本解的定义,会用付氏变换求一维热传导方程的基本解。典型习题:例1、例2、5、6第十四章拉氏变换概念:拉氏变换的定义:;拉氏变换的性质:线性性;乘积定理;象原函数的微商定理;象原函数的积分定理;象函数的微商定理;象函数的积分定理;相似定理;位移定理;滞后定理;卷积定

7、理;卷积定义:。要求:1.熟悉拉氏变换的定义;掌握拉氏变换的运算性质;会证其中的两个微商定理。2.熟悉函数(即)、、、、、、和等常见初等函数拉氏变换的象函数。3.会用拉氏变换求解常微初值问题。典型习题:例9、例10、6、7第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式概念:1、三种形式的厄密方程:原始形式标准形式阶厄密方程的特征值:;相应的特征函数:或;厄密多项式的微分表达式:厄密多项式的递推公式:;厄密多项式的正交归一关系:其中:权函数是,模是,归一化因子是。2、三种形式的拉盖尔方程:原始形式标准形式阶拉盖尔方程的特征值:;相应的特征函数:或;拉盖尔多项式

8、的微分表达式:广义拉盖尔多项式的递推公式:;;狭义拉盖尔多项式的递推公式:;拉盖尔多项式的正交归一关系:其中:权函数是,模是,归一化因子是。3、斯图谟

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