(学生版)教师版含参数的一元二次方程的整数根问题

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1、含参数的一元二次方程整数根对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.  例1m是什么整数时,方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0,有两个不相等的正整数根.  例2已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0  (其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.  9  

2、例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根,求m的值.    例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解,且a是整数,求a的值. 9  例5已知关于x的方程x2+(a-6)x+a=0的两根都是整数,求a的值.   例6求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整数.  9  例7已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0  至少有一个整数根,求a的值.    例8已知方程x2

3、+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2    (2)求证:b-1≤c≤b+1;  (3)求b,c的所有可能的值.  1、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=09(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?(2)设x1、x2式方程的两根,且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求m的值。2、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实根x1、x2,(1)求k的取值、范围。(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?3、试证:关于x的

4、方程mx2-(m+2)x=-1必有实根。4、m是什么整数时,方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.5、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0,(其中a是非负整数)至少9有一个整数根,求a的值.6、设m是不为零的整数,关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根,求m的值.7、已知方程kx2-(2k-1)x+k-2=0的两根为x1、x2,且x12+x22=3,求k的值。8、当m为何值时,关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1

5、=0有实根。9、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2+2=0有两个相等的实数根,是判断直线9y=(2m-3)x-4m+7能否通过A(-2,4),并说明理由。10、已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不等的实数根.11、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根,且满足2a-b=0.(1)求a、b的值;(2)已知k为一实数,求证:关于x的方程(-a+b

6、)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.12、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.13、已知:a、b、c是△ABC的三边,若方程有两个等根,9试判断△ABC的形状.11、若方程的两个根是x1,x2,求。15、已知关于x的方程(1)当m取什么值时,原方程没有实数根?(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两实数根,并求这两个实数根的平方和。16

7、、已知关于x的方程和,它们都有实数根,试求实数k的取值范围。17、已知一元二次方程(1)当m9取何值时,方程有两个不相等的实数根?(2)设是方程的两个实数根,且满足x12+x22+x1x2=1,求m的值。9

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