微分方程模型 课件

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1、数学建模讲义微分方程模型微分方程模型1、人口预报问题3、捕食问题2、传染病问题0、总论与简例根据规律建立模型?根据数学，物理，力学，化学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射性规律，曲线的切线等，这些都涉及到函数的变化率，可根据相应的规律列出常微分方程。0、总论与简例微分方程的解为：可求出经过1小时温度可以降到30度。例1：物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在20min内由100度冷却到60度，那么经过多长时间此物体温度达到30度？解：牛顿的冷却定律：将温度为T的物体放入

2、处于常温T0的介质中时,T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。微元法建模在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元增量之间的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式变化量＝输入量一输出量再简化为微分方程。例2一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1>T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3

3、求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ）一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数T(x)。T1T2oxABT3l热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。dt时间内通过距离O点x处截面的热量为：dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为：由泰勒公式：金属杆的微

4、元[x,x+dx]在dt内由获得热量为：同时，微元向空气散发出的热量为：系统处于热平衡状态，故有：所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解模拟近似法建模在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，对一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去模拟实际现象．对如此所得到的微分方程进行数学上求解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察分析这个模型与实际现象的差异性，看能否在一定程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释

5、．例3(交通信号黄灯的设置问题)在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？要避免让驾驶员处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口．当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当决定通过路口时，必须有足够的时间使他能完全通过路口。这就考虑三个时间：做出决定的反应时间、决定停车后需要的停车时间

6、或决定通过时安全通行时间．为了安全通过，黄灯持续的时间T应为驾驶员的反应时间T0、车通过交叉路口的时间T1和匀速通过安全刹车距离所需的时间T2之和。于是有若道路限速为v0，交叉路口的宽度为L，典型的车身长度为l。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，通过路口的时间为：假设在整个过程中所受制动摩擦力不变，可设为F=-km，m是车辆的质量。利用Newton运动定律，制动距离满足：若设T0=1s，L=10m，l=4.5m，k=0.8g,可得T和v0的关系如图所示：，我国一些地区出台政策规定黄灯时间为4s是安全的，因为同时规定

7、了通过交通路口时速不超过40m/s。为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型!离散化为连续，方便研究建模示例1如何预报人口的增长——Malthus模型与Log

8、istic模型背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年1908193319531964198219901995人口(亿)34.76710.111.312研究