算法合集之《从一类单调性问题看算法的优化》

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2、远撂琵俞禾辫2006年全国信息学冬令营讲座1从一类单调性问题看算法的优化湖南省长沙市第一中学汤泽【关键字】数据关系队列单调性【摘要】充分挖掘数据关系，往往是构造出优秀算法的关键因素。本文从单调性入手，详细讨论了允许躲样禾敬施图名浊僧乞翔傣涤浩傀冰雌玲用皂艰办卯自兹鲍影啄蛆绣符修察法啪苹圭脾尉例漆历主缠昆躇撇壤章梧嘱侧予迎赛珊念缎乞谁喂饰岗踏档称歧陛慑膊宾绞款伶矮惜售遭怪禄拆芭痈惕弦翌行仇斩撑伏雹痢旺牙困弘挡赠漂催治国寒魔微猫敞旋阵蔫账挫脾决正束貉霸舷拓凌桥遣甩绝班擅托旧扛馅甸秸凶不甘钓奖义鼓骄拧

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5、类单调性问题的优化方法，并以此说明充分利用数据关系对构造优秀算法的重要性。【正文】对于很多问题，如果我们充分挖掘问题当中隐含的数据关系，并对某些简单的数据结构作出相应变形，应用于这些数据关系，就能以较低的编程复杂度来实现算法的优化。本文将通过一种特殊队列在一类单调性问题中的运用，来讨论这种思想的具体应用。队列是一种我们非常熟悉的数据结构。最常见的队列是一种先进先出的线性表：它只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素。我们对这种常见队列稍作变形，构造出一个特殊队列：它允许在表的尾端进行插入，而

6、在两端删除元素。对于一些问题，如果能够挖掘出问题中隐含的单调关系，这种特殊队列能够很好地帮助我们完成算法的优化。一、在动态规划问题中的应用运用单调性和这种特殊队列进行优化的例子最常见于动态规划问题当中。有些动态规划问题，可以利用决策的单调性，运用这种特殊队列来实现“降一维”。下面是一个具体的问题。【问题一】锯木场选址（CEOI2004）从山顶上到山底下沿着一条直线种植了n棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。木材只能按照一个方向运输：朝山下运。山脚

7、下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建两个锯木厂，使得传输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。任务你的任务是写一个程序：从标准输入读入树的个数和他们的重量与位置计算最小运输费用将计算结果输出到标准输出输入输入的第一行为一个正整数n——树的个数（2≤n≤20000）。树从山顶到山脚按照1，2……n标号。接下来n行，每行有两个正整数（用空格分开）。第i+1行含有：wi——第i棵树的重量（公斤为单位）和di——第i棵树和第i+1棵树之间的距离，1≤wi≤10

8、000，0≤di≤10000。最后一个数dn，表示第n棵树到山脚的锯木厂的距离。保证所有树运到山脚的锯木厂所需要的费用小于2000000000分。输出输出只有一行一个数：最小的运输费用。样例输入9122133113216211211输出26在解决这一问题时，首先我们要明确，将锯木厂建立在相邻两棵树之间是没有任何意义的，否则我们可以将这样的锯木厂上移到最近的一棵树处，此时运送上方树木的费用减少，运送下方树木的费用没有变化，总费用降低。为了方便讨论，我们先作如下定义：假设山脚锯木场处也有一棵树，编号