高一数学人教b版必修3学案：2.3 变量的相关性2

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1、2.3　变量的相关性【入门向导】西方流传的一首民谣丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？相关关系我们可以从以下三个方面加以认识：(1)相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，还可能是伴随关系．(3)函数关

2、系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例1　有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中是相关关系的是________．解析　②⑤中两变量间的关系是函数关系；①③④中两变量的关系是非确定性关系，是相关关系．答案　①③④将样本中的n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．根据散点图中点的分布趋势可直观地判断并得出两个变量的关系．散点图

3、定义在具有相关关系的两个变量基础上，借助散点图，我们可以看两个变量关系的密切程度，进行相关回归分析．如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们称正相关；如果散点图中的点散布在左上角到右下角的区域，我们称为负相关．例2　某种产品的广告支出费x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070试就此数据判断x与y之间是否有相关关系．分析　怎样看两变量之间是否有相关关系呢？从数据表中看得出来吗？目前，简明直观的方法是画出散点图．解　根据所给数据，画出散点图如下图．由图可知，这些点大

4、致位于一条直线的附近，故知广告支出费x与销售额y之间具有相关关系．在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且可以画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x与y之间关系的直线的特征，即为n个偏差的平方和最小．设所求直线方程＝a＋bx，其中a，b是待定系数，则i＝a＋bxi(i＝1,2，…，n)．于是得到各个偏差yi－i＝yi－(bxi＋a)(i＝1,2，…，n)．显然，偏差yi－i的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n个偏差的平方和Q＝(yi－bxi－a)2.采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的a和b.＝＝

5、，＝－，其中＝xi，＝yi.例3　设对变量x、y有如下观察数据：x151152153154156157158160160162163164y40414141.54242.5434445454645.5(1)画出散点图；(2)如果变量x、y有线性关系，求出回归直线方程.解　(1)画出散点图．(2)由(1)得变量x、y具有线性相关关系．用计算器求得回归直线方程：＝0.450x－27.759.1．散点图及回归直线方程在实际中的应用有误例1　有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表

6、：人均GDP(万元)1086431患白血病的儿童数351312207175132180(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；(2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？错解　(1)根据表中数据画出散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．(2)将x＝12代入＝23.25x＋102.25，得＝23.25

7、×12＋102.25＝381.25>380，所以上述断言是正确的．错解辨析　在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.正解　(1)根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致

8、分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)将x＝12代入＝23.25x＋102.25，得＝23.25×12＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因3