高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

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1、均值不等式归纳总结1.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)2.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则(当且仅当时取“=”)3.若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)4.若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)5.若,则(当且仅当时取“=”)『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有

2、广泛的应用』应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y=3x2+(2)y=x+解:(1)y=3x2+≥2=∴值域为[,+∞)(2)当x>0时,y=x+≥2=2;当x<0时,y=x+=-(-x-)≤-2=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例已知,求函数的最大值。解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例1.当时,求的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意

3、到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设,求函数的最大值。解:∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三:分离例3.求的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后

4、将式子分开再利用不等式求最值。即化为,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.(1)(2)(3)2.已知,求函数的最大值.;3.,求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足,则的最小值是.分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:都是正数,≥当时等号成立,由及得即当时,

5、的最小值是6.变式:若,求的最小值.并求x,y的值技巧六:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。2:已知,且,求的最小值。错解:,且,故。错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,。变式:(1)若且,求的最小值(2)已知且,求的最小值技巧七已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。同时还应

6、化简中y2前面的系数为,x=x=x·下面将x,分别看成两个因式:x·≤==即x=·x≤技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。法一:a=,ab=·b=由a>0得,0<b<15令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b

7、=3,a=6时,等号成立。法二:由已知得:30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3∴≤3,ab≤18,∴y≥点评:①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.变式:1.已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。2

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