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时间:2018-09-19
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1、高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导(☆☆☆☆☆)条件极值---拉格朗日乘数法(☆☆☆☆)无条件极值(☆☆☆☆)曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆)隐函数(组)求导(☆☆☆)一阶偏导数、全微分计算(☆☆☆)方向导数、梯度计算(☆☆)重极限、累次极限计算(☆☆)函数定义域求法(☆)1.多元复合函数高阶导数例设其中f具有二阶连续偏导数,求.解,析1)明确函数的结构(树形图)这里,那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图,可以知道:对的导数,有几条线
2、通到“树梢”上的,结果中就应该有几项,而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘,分线相加”.2)是的简写形式,它们与19的结构相同,仍然是的函数.所以对求导数为.所以求导过程中要始终理清函数结构,确保运算不重、不漏.3)f具有二阶连续偏导数,从而连续,所以.练1.设其中f具有二阶连续偏导数,求.2.设其中f二阶可导,具有二阶连续偏导数,求.2.多元函数极值例1.求函数的极值.解(1)求驻点.由得两个驻点,,(2)求的二阶偏导数,,,(3)讨论驻点是否为极值点在处,
3、有,,,,由极值的充分条件知不是极值点,不是函数的极值;在处,有,,,,而,由极值的充分条件知为极大值点,是函数的极大值.析1)这是二元函数无条件极值问题.192)解题步骤:第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点;第二步求目标函数的二阶导数;第三步求出驻点的判别式,判断是否为极值点以及极大极小.2.将正数12分成三个正数之和使得为最大.解:令,则解得唯一驻点,故最大值为析1)题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成.2)由于目标函数是乘积形式,而其和为常数,可以利用
4、均值不等式.方法较为简单,但没有拉格朗日乘数具有一般性.3.求函数在圆上的最大值与最小值.解先求函数在圆内部可能的极值点.令解得点,而.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数,解之得,而.19比较三值可知,在圆上函数最大值为,最小值为.析1)在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点,最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2)在求方程组的解时,要注意方程的对称性,必要时也可做换元处理,以简化计算.3)本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程,将问题转化为一元函数的最值问题.练1
5、.求的极值.2.证明函数有无穷多个极大值,但无极小值.3.在椭球面的第一卦限求一点,使该点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.4.求抛物线与直线之间的距离.3.偏导数的几何应用例1.求曲面平行于平面的切平面方程.解令,曲面在点处的法向量为,已知平面的法向量为,而切平面与已知平面平行,所以,从而有,(1)又因为点在切面上,应满足曲面方程(2)(1)、(2)联立解得切点为及,所以所求切平面方程为:,或.19析1)由于已经给出平面的法向量,关键是求出切点,直接利用平面的点法式方程即可.2)法向量的求法
6、:由曲面方程得.如果曲面方程为,那么,或.对应的法向量就为或.3)注意不要把写成,它们的分量是对应成比例而不一定相等,否则将得出错误结论.4)两个平面要独立写出,千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2.求曲线,在点处的切线及法平面方程.解曲线方程为,取为自变量,则和看作的函数,即.那么曲线的切向量.方程组两边对求导,得,解得.将点代入,得切向量为.所以曲线在点处的切线为,法平面为.析1)曲线方程为参数形式19在点处对应参数为,那么曲线在处的切向量为.由直线的对称式(点向式)方
7、程可得切线方程为,法平面方程为.2)若曲线方程是一般式(隐函数形式),则,那么曲线在处的切向量为.由于此公式较为复杂,我们经常从三个变量中选取一个作为参数,剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.练1.设曲线绕轴旋转一周得到一旋转曲面,求该曲面在点指向外侧的单位法向量.2.求椭球面上某点处的切平面的方程,使过已知直线.3.在曲线上求点,使该点处的切线平行于平面.4.求曲线在点处的切线方程.194.隐函数(组)导数例1.设,求,.解方程两端对求偏导数,得即=;方程两端对求偏导数,得即=.析当然题目也可用
8、公式法求隐函数的偏导数,那是将看成是三个自变量,,的函数,即,,处于同等地位.方程两边对求偏导数时,,是自变量,是,的函数,它们的地位是不同的.2.设,求.解方程组两端对求导,得即则,.同样方程组两端对求导,得,.析1)方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.2)大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.19练1.设方程确定隐函数,求和.2.设函数由方程确定,求和.3.设,而是由方程
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