小量分析法应用举例

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1、小量分析法应用举例山西省河曲县巡镇中学张建军邮编：036599在中学物理教材中，有很多物理问题过程是复杂的，我们所要研究的物理量可能在整个过程中一直在不断地变化，给我们的研究带来困难。这时我们可以将整个过程分成许多小过程，每个过程经历时间，只要我们将分得足够小，就可以认为我们所要研究的物理量在时间内是不变的，从而给我们的研究带来方便。αD【例1】右图所示，一个人在岸上通过滑轮D以均匀的速率收绳子，将船拉向岸边，当绳子与水平方向的夹角为时，船的速度是多少？【解析】此问题中，船做的是变加速运动，情况比较复杂，但如果我们研究一段很短的时间内发生的事情，就可以把一些物理量DBCA看成在这段时间内是

2、不变的。设船在很短的时间内从A点运动到B点，如图所示，过B点作AD的垂线BC，因为很短，所以∠BDC很小，可认为BD=CD。设在内，船以速度做匀速运动，则有：AB=①相同时间内，滑轮上面的绳端运动的距离是AC，则AC=②AC=ABcos③所以可得：=。以上方法叫做过程小量法。另外本题亦可应用速度投影定理解决。【例2】规定无穷远处电势V,试推导一半径为R的均匀带电球体表面电势=?以∞abcdefgh…OR+++++++Q+q及空间任一点的电势=?【解析】如图所示，球体带正电荷量为+Q，我们可以把该球体抽象成为点电荷，电量全部集中在球心，现在要分析计算球体表面电势为多大，我们需引进一个试探电荷

3、+q，让它从球体表面a点运动到远处，若能计算出电场力所做的功，则=。但是根据库仑定律知，试探电荷+q远离场源电荷+Q过程中，所受电场力大小在递减，属于变力做功问题。相对比较复杂。此题我们可以采用过程小量法来加以解决：我们可以把a点到远处等分成无穷小段，ab；bc；cd；de……每一段足够短。根据库仑定律知，作3图像，应为曲线而且是减函数。因为ab足够短，所以rFOabrarb反映在图像上a、b两点曲线可近似看成线段，则a→b电场力对试探电荷所做的功即为ab图线所包围的直角梯形的面积。ab段电场力仍在改变，取其平均值，则有：=ab==其中=∵∴则可得：=所以可知：试探电荷从a点到∞远处的过程

4、中，电场力所做的功为+++……=∵∴即可得：=空间任一点距球心为r的电势=。【例1】运用类似的方法，试推导第二宇宙速度。abcdefgh…∞ORMm【解析】本题分析方法与上例相同。如图所示，把质量为的物体从地面送到远处，需要做多少功？设地球质量为，半径为，同样，我们从地球表面点到远处等分成无穷小段，每一段足够短。类似的方法，我们能够得到物体在段运动时所受万有引力的平均值为则能够得到物体从→远处克服地球引力所做总功为：+++……=而3∴。然后根据动能定理可得：故可得：。【例1】试运用过程小量法证明：重力做功与路径无关，只取决于初、末位置的高度差。mABP1P2P1P2mg【解析】质量为m的物

5、体沿任意曲线路径从A运动到B，如图所示。我们可以把曲线n等分，n很大，每一等分则很短，近似可以看成线段，我们以物体通过任一段微位移来讨论重力做功情况。而为第段微位移沿竖直方向的投影高度。物体从A运动至B全程重力所做的功等于n段微位移重力所做功的代数和。亦等于重力与各段微位移沿竖直方向投影高度之和的乘积。即，题中结论得证。Bv【例2】右图所示的一个导体圆环，环面与匀强磁场B的方向垂直。以速度沿垂直于磁场的方向运动。问环上产生的最大电势差是多少？【解析】运用组成小量法来分析解决。因为运动物体是一个圆环，各个部位与速度所成角度不相同，所以整体研究有困难。我们先研究一小段圆弧ab，只要将ab取得足

6、够小，即可将ab作为一条线段来处理。设ab与速度的夹角是，那么ab段导体所产生的感应电动势：abcvB由此可见，每一段导体所产生的感应电动势都等于它在垂直于方向上的投影和B、的乘积。将许多段很短的导体的电动势加起来。就等于圆环的直径和B、的乘积。所以圆环产生的最大电势差为：（为导体圆环的直径）。3