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《工程数学-线性代数第五版答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数重点第一章行列式8.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式..(4);解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2.于是.而,所以.(5)D=det(aij),其中aij=
2、i-j
3、
4、;解aij=
5、i-j
6、,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2×××an¹0.解.第二章 矩阵及其运算14．设A为3阶矩阵,,求
7、(2A)-1-5A*
8、.解因为,所以=
9、-2A-1
10、=(-2)3
11、A-1
12、=-8
13、A
14、-1=-8´2=-16.15.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.16.设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为,所以(A-E)可逆,从而.17.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求
15、B.解由A*BA=2BA-8E得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-1A-1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(
16、A
17、E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1=4[diag(2,-1,2)]-1=2diag(1,-2,1).18.已知矩阵A的伴随阵,且ABA-1=BA-1+3E,求B.解由
18、A*
19、=
20、A
21、3=8,得
22、A
23、=2.由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例10求解齐次线性方程组(略)12
24、.设,问k为何值,可使(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.解.(1)当k=1时,R(A)=1;(2)当k=-2且k¹1时,R(A)=2;(3)当k¹1且k¹-2时,R(A)=3.第四章 向量组的线性相关性例11.（略）27.（以填空形式出现）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知h1,h2,h3是它的三个解向量.且h1=(2,3,4,5)T,h2+h3=(1,2,3,4)T,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于h1,h2,h3均为方程组
25、的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)=(3,4,5,6)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:x=k(3,4,5,6)T+(2,3,4,5)T,(kÎR).第五章待定第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:(1);解根据施密特正交化方法,,,.(2).解根据施密特正交化方法,,,.2.下列矩阵是不是正交阵:(1);解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵.3.设x为n维列向量,xTx=1,令H=E-2xxT,
26、证明H是对称的正交阵.证明因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵.证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解,
27、故A的特征值为l=-1(三重).对于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值为l1=0,l2=-1,l3=9.对于特征值l1=0,由,得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量.对于特征值l2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量.对于特征值l3=9,由,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T
28、,向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量.(3).解,故A的特征值为l1=l2=-1,l
