本科高数a复习卷1标答

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1、《高等数学A》（本科）复习卷一、基本题1、。(时有理函数的极限，分子分母同时除以)2、。3、设在处连续，则。因为在处连续，故4、当时，与为等价无穷小，则。因为当时，与为等价无穷小，故又5、设在处可导，且，则。因为若存在，则故6、设，则。故第15页共15页7、设，则。8、设，则。因为；；故9、函数在区间上满足罗尔定理条件的点。因为，由罗尔定理存在点，使得10、函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件的点。因为，由拉格朗日中值定理存在点，使得11、曲线在处的曲率。第15页共15页12、函数在点极限存在是连续的

2、必要条件；连续是可导的必要条件；可导是可微分的充要条件。极限连续可导可微13、设是的一个原函数，则。因为是的一个原函数，故，或；；14、计算下列积分；；；；；；第15页共15页15、。因为当为奇函数时，；。16、；；；。17、判定下列反常积分的收敛性，；，；1）收敛；2）收敛；3）发散；或为，故发散4）收敛；或收敛5）收敛；6）收敛。18、微分方程：的阶数为。第15页共15页19、微分方程：的通解中应含独立的常数的个数为。20、求下列方程的通解：1）【解】：对应的特征方程为：，故通解为2）【解】：对应

3、的特征方程为：，故通解为3）【解】：对应的特征方程为：，故通解为二、计算题（一）极限与连续1、型2、型3、型，含分式先通分第15页共15页4、型5、型，底数凑1，指数倒倒抄6、求函数的间断点，并判定类型。【解】：1）间断点为：2），但是不存在，故为可去间断点。3）故为第二类间断点。4）故为跳跃间断点。（二）导数与微分第15页共15页1、设，求。【解】：2、设，求。【解】：幂指函数化：。3、设，求。【解】：1）2），将代入得4、设，求。【解】：1）2）5、若在处可导，求的值。【解】：1）第15页共15页

4、因为在处可导，故在处连续2）因为在处可导（三）积分1、2、3、4、5、6、7、8、9、第15页共15页10、分部积分公式：11、12、13、14、第15页共15页15、16、设，求三、解下列微分方程1、求的通解。【解】：故通解为：2、求满足初始条件的特解。【解】：1）先求通解：；2）因为，故满足初始条件的特解为第15页共15页3、求的通解。（此次不考）【解】：；令，代入原方程故通解为4、求下列二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：1）【解】：1）先求的通解对应的特征方程为故通解为2）再求的特解非特征根，

5、取。设将代入中3）通解为：2）【解】：1）先求的通解对应的特征方程为故通解为2）再求的特解非特征根，取。第15页共15页设将代入中3）通解为：3）【解】：1）先求的通解对应的特征方程为故通解为2）再求的特解特征方程单根，取。设将代入中3）通解为：第15页共15页四、应用题1、求由曲线及其在点、处的切线所围成的平面图形的面积。【解】：1）先求，处切线方程：处：，切线：处：，切线：2）两切线的交点为3）2、求的值，使曲线与在点、处的法线所围成的平面图形面积最小。【解】：1）先求，处法线方程：处：，法线：处

6、：，法线：2）两法线的交点为3），令，驻点唯一，由实际问题知，当时，最小。第15页共15页3、设平面图形由曲线及直线、所围成，求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。【解】：1）；；2）四、证明题1、当时，。【证明】：1）设2），当时单调上升时，2、设为连续函数，证明【证明】：1）2）故即第15页共15页3、设在上连续，在内可导，且，证明：在内至少存在一点，有【证明】：1）设，由已知在上连续，在内可导，又；2）由罗尔定理：在内至少存在一点，使得3）因为，故第15页共15页