数学分析三试卷及答案new

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1、《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一.计算题(共8题,每题9分,共72分)。1.求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解:,因此二重极限为.……(4分)因为与均不存在,故二次极限均不存在。……(9分)2.设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解:对两方程分别关于求偏导:,……(4分)。解此方程组并整理得.……(9分)3.取为新自变量及为新函数,变换方程。设(假设出现的导数皆连续).解:看成是的复合函数如下:。……(4分)代人原方程,并将变换为。整理得:。……(9分)4.要做一个容积为的有盖圆桶,什么样

2、的尺寸才能使用料最省?解:设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值,其中目标函数:,《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页约束条件:。……(3分)构造Lagrange函数:。令……(6分)解得,故有由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时,制作圆桶用料最省。……(9分)1.设,计算.解:由含参积分的求导公式……(5分)。……(9分)2.求曲线所围的面积,其中常数.解:利用坐标变换由于,则图象在第一三象限,从而可以利用对称性,只需求第一象限内的面积。。……(3分)则……(6分).……(9分)7.计算

3、曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆),从轴的正向看去,是逆时针方向.解:取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧,则的法向量为《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页。……(3分)由Stokes公式得……(6分)……(9分)8.计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解:椭球的参数方程为,其中且。……(3分)积分方向向下,取负号,因此,……(6分)……(9分)二.证明题(共3题,共28分)。9.(9分)讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解:连续性:当时,,当,从而函数在原点处连续。……

4、(3分)可偏导性:,《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页,即函数在原点处可偏导。……(5分)可微性:不存在,从而函数在原点处不可微。……(9分)10.(9分)(9分)设满足:(1)在上连续,(2),(3)当固定时,函数是的严格单减函数。试证:存在,使得在上通过定义了一个函数,且在上连续。证明:(i)先证隐函数的存在性。由条件(3)知,在上是的严格单减函数,而由条件(2)知,从而由函数的连续性得,。现考虑一元连续函数。由于,则必存在使得,。同理,则必存在使得,。取,则在邻域内同时成立,。……(3分)于是,对邻域内的任意一点,都成立

5、,。固定此,考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得=0。而关于严格单减,从而使=0的是唯一的。再由的任意性,证明了对内任意一点,总能从找到唯一确定的与相对应,即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。……(6分)(ii)下证隐函数的连续性。设是内的任意一点,记。《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页对任意给定的,作两平行线,。由上述证明知,。由的连续性,必存在的邻域使得,,。对任意的,固定此并考虑的函数,它关于严格单减且,。于是在内存在唯一的一个零点使,即对任意的,它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。

6、……(9分)11.(10分)判断积分在上是否一致收敛,并给出证明。证明:此积分在上非一致收敛。证明如下:作变量替换,则。……(3分)不论正整数多么大,当时,恒有。……(5分)因此,……(7分),当时。因此原积分在上非一致收敛。……(10分)注:不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下:尽管对任意的积分一致有界,且函数关于单调,但是当时,关于并非一致趋于零。事实上,取相应地取,则,并非趋于零。《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页

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