双变量恒成立题型的思路探求2

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1、双变量恒成立题型的思路探求陕西师范大学数学系（710062）罗增儒2012年高考数学陕西卷文、理科最后一题（第21题）都有一问是“双变量恒成立题型”，我们将其整理为：例1已知二次函数，若对任意的，有，求的取值范围．它与下述竞赛题形式上有点类似（都是二次函数在闭区间上给出一个绝对值不等式，求某个系数的取值），但内在的数学结构很不相同：例2已知，当时，．试求的最大值．（2010年高中数学联赛第9题）本文的重点是探讨“双变量恒成立题型”（例1）的解题思路（同时也会涉及考试技术），分4步作讲解如下．1．弄清条件是

2、什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有2个：（1）给出上的二次函数．这时，二次函数的相关性质可以视为已知．比如，图象的开口向上，对称轴为，最大值为，最小值需分类讨论：或为（当时）、或为（当时）等．这些性质在尔后的解题中可能用到、也可能用不到，没关系，理解题意时都要进行广泛的收集与动员．（2）这个二次函数满足：对任意的，有．这句话可以运算为，但不便于继续操作，因此，对这句话的数学含义作更便于操作的理解是本题求解的一个关键．我们说，其中一个等价解释是：在上的最大值不超过4，（第一步转化）而在上的最大值

3、，等于在上的最大值减去在上的最小值，又有等价条件．（第二步转化）这时，差只与有关（会在求差运算中消去），实质上是的函数，记为，有．（第三步转化）下文会进一步揭示2．弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？题目的结论是一句话：求的取值范围．包含充分性与必要性两个方面，不妨理解为两个结论．（1）必要性：满足条件的都在这个“范围”里；（2）充分性：这个“范围”里的都满足条件．3．弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．条件间接提供的不等式，结论求的范围，把两者联系起来，在我们的眼前就出现这样

4、一个数学结构：建立并求解的不等式；也可以说，找出一个有上界4的函数，由上界求自变量的范围．问题是，不等式中有两个变量在上任意取值，如何处理“两个变量恒成立”构成了本题的难点和关键，也区别于“一个变量恒成立”问题（如例2）．我们认为至少有两个途径可以化解难点、抓住关键：（1）一步到位，找“充要条件”．如上所说条件“任意的，有”，等价于．问题转化为求，，，这是可操作的．由抛物线的性质知：①．②．③④记，有这实际上是确定了函数的表达式，然后便可由值域去确定自变量的范围．显然有．（2）分两步走，先找“必要性”、再

5、验证“充分性”．这在可靠性上比找“充要条件”低（很容易出错），但比找“充要条件”容易下手．如①特别地，取为．由任意的，有，更有，得．下来，只需验证时，对任意的，有恒成立．②特别地，取为，有，对任意的恒成立，得，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，得．下来，只需验证时，对任意，有恒成立．至此，两条思路都基本打通．4．基本解法．下面给出两个基本解法，读者不难写出更多的解法．解法1对任意的，有，等价于，等价于．据此分类讨论如下．（1）当，即时，抛物线的对称轴位于区间外部，在上为单调函数，最大、最小值在区间端点取

6、到，有，与题设矛盾．（2）当，即时，抛物线的对称轴位于区间内部，有恒成立．综上得，的取值范围为．解法2（必要性）因为对任意的，有，更有，得．（充分性）当时，有，知抛物线的对称轴位于区间内部，对任意的，有恒成立．综上得，的取值范围为．说明1令，由，可转而讨论，这就更清楚表明是的函数．说明2找出的表达式可以揭示问题的深层结构，并使成为显然．（画出的图象也很显然）说明3下述一些解法，由于缺少充分性的步骤，均为考试的“会而不对、对而不全”．当中，既有知识性错误，又有逻辑性错误．误解1因为对任意的，有，更有，即，得

7、．所以，的取值范围为．误解2由，有，所以，的取值范围为．误解3在上取值，及，有消去，可解得．有，对任意的恒成立．但函数（）在时取到最小值，故得．所以，的取值范围为．误解4对任意的，有，相减有，对任意恒成立，得，即，所以，的取值范围为．联系地址陕西省西安市长安南路199号陕西师范大学雁塔校区444信箱邮编710062手机13609297766E-mailzrluo@snnu．edu．cn约稿函罗老师：您好！我是课程导报编辑赵冠军，也是您曾经的学生（陕西师范大学数学系973班）。2012年全国高考已经结束，各

8、地开始研究今年高考试题。《课程导报·教研周刊》是一份服务于全国初高中教师的教研报纸。值此高考结束，我教研部打算在近期教研周刊上刊发一篇关于2012年高考试题研究的文章。应各地老师要求，特向您约稿。稿件题目自拟。稿件主题：2012年高考全国卷（或陕西卷）试题分析。稿件字数：3500字左右。稿费标准：300元/千字。交稿时间：初定6月25日。未尽事宜，电话沟通。联系电话：13581787217编辑：赵冠军2012年6月11日