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1、云南大学数学分析习作课（2）读书报告题目：两类曲线积分性质及曲面积分性质及应用学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学专业姓名、学号：张伟20101050105任课教师：何青海时间：2011年6月30日（星期四）摘要：17一．曲线积分：1．第一类曲线积分的性质与应用；2．第二类曲线积分的性质与应用；3．两类曲线积分的对比。二．曲面积分：1.第一类曲面积分的性质与应用；2.第二类曲面积分的性质与应用；3.两类曲面积分的对比。关键词：曲线积分，曲面积分，概念，性质，计算，运用。内容：一．曲线积分：（一）第一类曲线积分：1.第一类曲线积分概念
2、：（1）模块分解法：设几何形体是一可求长的空间曲线段l，在这个几何形体上定义了一个函数，.将此几何形体分为若干可以度量的小块，，…，把他们的度量大小仍记为.并令{的直径}，在每一块中任意取一点，作下列和式（也称为黎曼和数，或积分和数），如果这个和式不论对于怎样划分以及在上如何选取，只要当时恒有同一极限I,则称此极限为在几何形体上的黎曼积分，记为：，也就是.这个极限是与的分法及取法无关的.点列描述法：（2）点列分解法：设L为面内的一条有向光滑曲线弧，函数在L上有界．在Ｌ上任意插入一点列把Ｌ分成个小弧段.设第个小弧段的长度为.又为第个小弧段
3、上任意取定的点．作乘积17,并作和,如果当各小弧段长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲线弧Ｌ上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作,即．（3）说法表达为：如果对任意及一定数I，总存在一个数，对于任意的分法，只要时，不管点在上如何选取，恒有，则称I为在上的黎曼积分，记为：.这时，我们也称在上可积.2，第一类曲线积分的性质（公式推导）：（1）若存在，为常数，则也存在，且（2）若曲线段L由曲线，，…，首尾相接而成，且都存在，则也存在，且(3)若与都存在，且在L上，则(4)若存在，则也存在，且(5)若存在，L的弧长为s，则存
4、在常数c，使得，其中3,第一类曲线积分的计算：（1）对参数方程：若曲线C（A,B）：是光滑的，即在连续，且不同时为0，函数在C连续，则函数在C（A,B）存在第一类曲线积分，且17（2）对坐标方程：曲线C（A,B）是由方程y=y(x)给出，且在连续时，上式表示为：4,第一类曲线积分的应用：(1)计算其中是抛物线上点与点之间的一段弧.解：由于L由方程给出，因此====(2)求，其中C是圆周解：令由公式则：(3)计算曲线积分,其中为螺旋线上相应于t从0到的一段弧.解：(4)物理计算：17计算半径为R,中心角为的圆弧关于它的对称轴的转动惯量(设
5、线密度).解：取以轴为对称轴，则=利用的参数方程于是（一）第二类曲线积分：1.第二类曲线积分的概念：设L为一条有向光滑或逐段光滑曲线，其方向由A到B，且设F（x,y,z）是定义在L上的向量函数，表示式为，又设P,Q,R都是有界函数.将L自A到B分为n个有向小弧段，每个小弧段的起点为，终点为，有向弧段的大小为，方向与的方向一致，的表示式为，在每一段内任取一点，作和式（即黎曼和），当，令，如果极限存在，并且I与L的划分以及与的选取无关，则称此极限为F（x,y,z）在L上的第二类曲线积分，记为.其中L的方向是从A到B，17,dx,dy,dz理
6、解为ds在x轴，y轴，z轴上的投影，是带有符号的.2.第二类曲线积分的性质（积分与方向有关）：（1）（2）（3），其中表示有向弧段L的反方向弧段（4），k为任意常数（5）若存在，则存在，且：，其中为常数（6）若有向曲线L是有向曲线首尾相接而成，则存在，且：3.第二类曲线积分的计算：（1）对参数方程：设光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=(t)且t从到变化时L从点A到点B变化，设向量函数，则=（2）对坐标方程：设光滑曲线L:y=y(x),z=z(x)且x从a到b变化时L从点A到点B变化，则:=4.第二类曲线积分的应用：17（1）若
7、对任意的x，y有，设C是有向闭曲线，则=．解：由格林公式将其中为C围成的平面区域，及条件知，应该填写：0（2），其中是延圆周正向一周．解：因为圆周所围圆面积D为：，由格林公式得：=，应该填写：（3）（物理中的计算）弹性力的方向向着坐标原点，力的大小与质点距坐标原点的距离成比例，设此点反时针方向描绘出椭圆的正四分之一，球弹性力所做的功。解：依胡克定律，弹性力功的微分为：从而，其中C为椭圆的正四分之一弧段，即从(a,0)到(0,b)的一段弧段，令，故即弹性力做功为.（三）两类曲线积分见的联系：设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为数.，
8、若P(x,y),Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则17，其中二．曲面积分：（二）第一类曲面积分：1.第一类曲面积分的概念：（1）模块分解法：设几何形体是一可求面积的曲面片S，在这个几何形体上定义了一个函数
