高二数学竞赛班二试讲义

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1、高二数学竞赛班二试讲义第8讲几个特殊的不定方程班级姓名一、知识要点：1．勾股数方程定义形如的方程叫做勾股数方程，这里为正整数，并称满足条件的解为方程基本解。定理勾股数方程满足条件且的一切基本解可以表示为：，其中为正整数，且一奇一偶，。2．不定方程这个四元方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出。设，则，，则3．中国剩余定理设是两两互质的正整数，记，，则同余方程组有且仅有一组解，其中，，。4．佩尔（Pell）方程定义设，且不是完全平方数，则形如的方程叫做佩尔方程定理1如果是使最小的方程的解（称为最小解），则也是方程的一组解每个解都可以取幂得到。下表是佩尔方程，且不是完全平方数的最小

2、解235678101112131415171819329583191076491543317170214231632180118439定理2如果是使最小的方程的解（称为最小解），则也是方程的一组解每个解都可以取幂得到。65．方程方程可能有解也可能无解，如果有正整数解时，它一定有无穷多组解。证明：设是方程的解，是的任一组解，那么因此，是方程的解。由于方程有无穷多组解，所以这时方程也有无穷多组解。二、例题精析例1．在直角坐标平面上，以为圆心，求以为半径的圆周上整点的个数。例2．设为正整数，。证明：不是素数。6例3．证明：有无穷多个正整数，使得为完全平方数例4．（第30届IMO试题）设

3、为任意的正整数。证明：一定存在个连续的正整数解，使其中任何一个都不是质数的整数幂。6三、精选习题1．证明：存在无穷多对正整数，使得（第26届IMO预选题）2．设，若元正整数集合满足：对任何整数，都存在，，使得与是不互质的数，就称为“好集”．证明：若为“好集”，且中所有元素之和为，则存在，使得从中删去元素后，所得到的集仍为“好集”．6高二数学竞赛班二试讲义第8讲几个特殊的不定方程例1．设为圆周上任一整点，则方程为：。显然为方程的四组解；当时，（因为是素数），则是一组勾股数，故可以表示为两个正整数的平方和，设，由于，所以方程无整数解。例2．由可设，其中为正整数不是素数例3．设，则，设

4、，则即，因为佩尔方程有无穷多组解取，也有无穷多组解。例4．取个两两不同的质数和。对于同余方程组，由于两两互质，根据孙子定理知同余方程组必有解，取为正整数，则个连续正整数都至少含有两个不同的质因数，因而它们中的任一个都不是质数的整数幂。例1．已知等式可化为，令，得佩尔方程，有基本解，从而原方程有无穷多组解。2．证：如果与不互质，则有质数因子，于是，现在设，中的元素两两之差的所有可能的质因子构成集合；假若对于每个，都存在一个剩余，使得在集合中至多只有一个数关于模与同余，（即是说，存在模的某个剩余类，其中至多含有中的一个元素）．由孙子定理，同余组有解，满足：，而利用题中条件可得，对于这

5、个，存在某对和某个，使得整除与，由得，即关于模皆与同余，也即两数属于模的同一个剩余类，这与的假设矛盾！由此可以断定，存在，关于模的每个剩余类，都至少含有集的两个元素；又假若对于模的每个剩余类，都恰好含有集的两个元素，则中恰有个元素，分别为和的元素各一对，其中为非负整数，而通过，于是的元素和为，如此有，而为质数，矛盾！因此，必存在的某个剩余类，含有集的至少个元素，今从6中删去这样的一个元素，所得到的集仍为“好集”．6