数值分析：第1章 引论_418305513

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1、第1章　引论§1数值分析研究对象与特点（I）数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。对数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。例如，设有一个质量为的质点作直线运动（设其在轴上运动），其坐标用表示。在质点运动过程中，其坐标随时间而变动，要知道质点如何运动，就要知道对时间的依赖关系。假定运动是在力的作用下进行的，而力又与时间，质量的位置，速度有关，即。由Newton第二定律，，即在时刻t有为使问题定解，还需加上初始条件8这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和

2、解决的问题。作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，如不能用解析方法求得。很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。数值分析具有两个显明特点：1.实践性　数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。2.与计算机的密切相

3、关虽然数值分析早于计算机的出现，但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。计算机为用数值方法进行科学与工程计算提供了条件，而数值方法的发展又推动了计算机的发展。现在大量的科学与工程问题可用计算机进行求解。过去完全靠实验的学科，如气体动力学，目前大量以数值方法用计算机来完成。科学计算已与理论研究，科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。8§2　误差与有效数字（I）误差来源数值分析是研究求解数学问题的数值方法，在计算过程中，误差是不可避免的，引起误差的因素很多，主要有1.数学模型误差2.观测误差（测量误差）3.截断误差，例当很小时，，由此看出，用来近似的误差为4.　舍入

4、误差在计算过程中，往往对数字“4舍5入”。受计算机字长限制，无法对无穷小数进行运算，必须化为具有一定位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。（II）绝对误差，相对误差设为准确值，为其近似值，令，称其为近似值的绝对误差，或称误差。8由于往往未知，故一般不能求出。称为的相对误差。由于往往未知，因此也称其为相对误差。假定为某一实数的准确值，为其近似值，可对的绝对误差作估计称为的绝对误差界，或称误差界。相应于称为的相对误差界。例　　　　取　　可令其绝对误差界；相对误差界（III）有效数字有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，也能表示其精确程度。在数值计算过程中，用四舍五入原则取的

5、前n位数为其近似值，例如8取前4位，可以看出，，　四舍五入得到的数，其绝对误差不超过未位数的半个单位。例5　　取前面5位　定义　　如果近似值的绝对误差界为，那么称准确到小数点后第位，并从第1个非零数字到这一位所有数字称为有效数字。例　1.414　准确到小数点后第3位，有4位有效数字。　　　3.1416准确到小数点后第4位，有5位有效数字。（IV）数值计算中注意的问题1.避免两个相近的数相减。2.避免大数“吃”小数。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4.简化运算次数。§3数值稳定性8计算积分要计算15个积分。方便起见，建立递推公式。注意到　　　　　　　　由此得　　取　　下面来分析递推公式

6、计算结果是否正确？8可以看出，，由此推断，用递推公式计算不对。计算时，由于4舍5入，存在误差。再考虑计算时，事实上采用公式，即准确公式为两者相减有　　　　　　由的误差，通过递推公式的误差为的倍。定义，对于一个算法，如果初始有误差(舍入误差，截断误差)，在运算过程中误差无限增加，不能控制，那么称该算法是数值不稳定的，反之为数值稳定的。可以看出，上述递推算法是数值不稳定的。算法2.取8由　得用此递推公式结果可以看出，很准确。仍考虑　从出发，计算时，初始误差经运算，误差被控制,上述算法是数值稳定的。8