2几何证明及通过几何计算进行说理问题

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1、智浪教育--普惠英才文库3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12017年杭州市中考第22题如图1,在△ABC中,BC>AC,∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.(1)若,AE=2,求EC的长;(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.图1智浪教育--普惠英才文库例22017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一动点,过P作PM//AB交AF于M,作PN//CD交

2、DE于N.(1)①∠MPN=_______°;②求证:PM+PN=3a;(2)如图2,点O是AD的中点,联结OM、ON.求证:OM=ON.(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊的四边形,并说明理由.图1图2图3智浪教育--普惠英才文库例32018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0,1)与Q(2,-3).(1)求此二次函数的解析式;(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形

3、ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积;②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.智浪教育--普惠英才文库3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例12017年杭州市中考第22题如图1,在△ABC中,BC>AC,∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.(1)若,AE=2,求EC的长;(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”,拖动

4、点D在AB上运动,可以体验到,CP既可以是△CFG的高,也可以是△CFG的中线.思路点拨1.△CFG与△EDC都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况.2.高和中线是直角三角形的两条典型线,各自联系着典型的定理,一个是直角三角形的两锐角互余,一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.根据等角的余角相等,把图形中相等的角都标记出来.满分解答(1)由∠ACB=90°,DE⊥AC,得DE//BC.所以.所以.解得EC=6.(2)△CFG与△EDC都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况:①如图2,当∠1=∠2时,由于∠2与∠3互余,所以∠2与∠3也互余.

5、因此∠CPF=90°.所以CP是△CFG的高.②如图3,当∠1=∠3时,PF=PC.又因为∠1与∠4互余,∠3与∠2互余,所以∠4=∠2.所以PC=PG.所以PF=PC=PG.所以CP是△CFG的中线.综合①、②,当CD是∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的高,也是中线(如图4).图2图3图4智浪教育--普惠英才文库考点伸展这道条件变换的题目,不由得勾起了我们的记忆:如图5,在△ABC中,点D是AB边上的一个动点,DE//BC交AC于E,DF//AC交BC于F,那么四边形CEDF是平行四边形.如图6,当CD平分∠ACB时,四边形CEDF是菱形.图5图6如图

6、7,当∠ACB=90°,四边形CEDF是矩形.如图8,当∠ACB=90°,CD平分∠ACB时,四边形CEDF是正方形.图7图8智浪教育--普惠英才文库例22017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一动点,过P作PM//AB交AF于M,作PN//CD交DE于N.(1)①∠MPN=_______°;②求证:PM+PN=3a;(2)如图2,点O是AD的中点,联结OM、ON.求证:OM=ON.(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊的四边形,并说明理由.图1图2图3动感体验请打开几何画板文

7、件名“14安徽23”,拖动点P运动,可以体验到,PM+PN等于正六边形的3条边长.△AOM≌△BOP,△COP≌△DON,所以OM=OP=ON.还可以体验到,△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形,四边形OMGN是菱形.思路点拨1.第(1)题的思路是,把PM+PN转化到同一条直线上.2.第(2)题的思路是,以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆经过点N、P.于是想到联结OP,这样就出现了两对全等三角形.3.第(3)题直觉告诉我们,四边形OMGN是菱形.如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形,那么矛盾就是如何证明∠MON=120°.满分解答(1)①∠MPN=6

8、0°.②如图4,延长FA、ED交直线BC与M′、N′

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