从函数角度研究数列

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1、从函数角度研究数列一、数列单调性的判定例1、判断数列的增减性作差递增数列例2、已知数列的前项和为.（1）求证：数列为等差数列；（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）（1）由已知，得，又所以，数列为公差为的等差数列．（2）由得当时，数列为递增数列；当时，数列为常数列；当时，数列为递减数列．练习：已知等差数列的首项是31．若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是 引伸：若数列是递增数列，求实数a的取值范围恒成立，二、等差数列最值例3、设等差数列满足且,为其前n项和,则中最大的是？例4、在等差数列{an}中，已知a1

2、=20，前n项和为Sn，且S10=S15①求前n项和Sn②当n为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值练习：等差数列中,为其前n项和,且,则有:(1)此数列公差d<0,(2)一定小于.(3)一定是中最大值,(4)是各项中最大一项,其中正确的是___________(填入序号).答：(1),(2),(3)引伸：等比数列｛an｝中,a1=512,公比q=-,用Ⅱn表示它的前n项之积:Ⅱn=a1a2…an,则Ⅱ1Ⅱ2…,中最大的是（）(A)Ⅱ11(B)Ⅱ10(C)Ⅱ9(D)Ⅱ8选C三、求数列的最大项与最小项例5、已知数列｛an｝是首项为、公差为1的等差

3、数列，，求数列｛bn｝中最大项和最小项的值最大项，最小项练习：已知则在数列的前30项中最大项和最小项分别是_____。()例6、已知是数列的前n项的和，若对一切都成立，试求a的范围。()练习：已知，求数列中最大项的值最大项引伸：设数列｛an｝的通项公式为an=｜n-k

4、+

5、n-2k

6、(n∈N*),若对任意的正整数n,ana3=a4恒成立，则实数k的取值范围是?例7、已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。(第8，9项)。练习：数列中，若，试证明数列是一个先增后减的数列，并求出当n为何值时，取得最

7、大值。思考题：已知数列满足=，，求数列的最小值()例8、数列中，，（），数列的前项和（）（1）证明：数列成等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，请你构造一个数列（），使得对于任意的，数列的前项的和恒成立（1）由得，，且所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列.（2）由（1）可得，，所以（）.当时，；当时，所以（）（3）（）要使恒成立，只需即可，下求的最大值：注意到当、时，；当、4、、、……时，；且，即……，所以的最大值为不妨构造，知对于任意，均有成立.下求的通项公式，；时，.所以当时，的前项的和对于任意的恒成立练习：已知数列的前项和为，

8、，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）记，若对任意恒成立，求实数的最大值（1），①当时，.②由①-②，得.又，，解得.数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数）.（2）由（1）知，，.由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为四、周期性例9、若数列满足，且，则a2012=____练习：已知数列中，，则a2012=____6哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在学习上的。鲁迅