冯诺依曼稳定性分析

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1、冯诺依曼稳定性分析维基百科，自由的百科全书跳转到：导航,搜索数值分析中,冯诺依曼稳定性分析(亦作傅立叶稳定性分析)用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性[1]，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员JohnCrank和PhyllisNicolson在文章中对该方法进行了简要介绍[2]，尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中[3]。洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。[编辑]数值稳定性数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时，若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散，则

2、可称该有限差分法是数值稳定的。如果误差随着进一步计算降低最终消失，该算法被认为稳定；若误差在进计算中保持为常量，则认为该算法“中性稳定”。但如果误差随着进一步计算增长，结果发散，则数值方法不稳定。数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。稳定性一般不易分析，特别是针对非线性偏微分方程。冯诺依曼稳定性方法只适用于满足Lax–Richtmyer条件（Lax等价定理）的某些特殊差分法：偏微分方程系统须线性，常系数，满足周期性边界条件，只有两个独立变量，差分法中最多含两层时间步[4]。由于相对简单，人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其

3、他更为详细的稳定性分析，用以估计差分方法中对容许步长的限制。[编辑]方法描述冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。为了描述此过程，考虑一维热传导方程空间网格间隔为L,对网格作FTCS（Forward-TimeCentral-Space，时间步前向欧拉法，空间步三点中心差分)离散处理，其中。为离散网格上的数值解，用于近似此偏微分方程的精确解u(x,t)。定义舍入误差。其中是离散方程(1)式的精确解，为包含有限浮点精度的数值解。因为精确解满足离散方程,误差亦满足离散方程[5]：此式将确定误差的递推关系。方程(1)和(2)中，误差和数值解

4、随时间具有一致的变化趋势。对于含周期性边界条件的线性微分方程，间隔L上的空间部分误差可展开为傅立叶级数其中波数，，M=L/Δx。通过假设误差幅度Am是时间的函数，可以给出误差和时间的关系。不难知单步中，误差随时间指数增长，因此(3)式可以写作其中a为常量。由于误差所满足的差分方程是线性的（级数每一项的行为与整个级数一致），只估计一项的误差变化便足以估计整体趋势：为找出误差随时间步的变化,将方程(5)式应用于离散后的误差表达式上·再代入到(2)式中，求解方程后可得使用已知的指数三角关系式和可以将方程(6)变作定义涨幅因子则误差有限的充要

5、条件为。已知联立(7)和(8)两式，易得稳定性条件为即(10)即为该算法的稳定性条件。对于FTCS求解一维热传导方程，给定Δx，所允许的Δt取值需要足够小以满足(10)，才能保证计算的数值稳定。