高考递推数列分类

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1、高考递推数列分类类型1:渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题,利用三角函数的周期性体现数列的变化,利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1(2008年湖南卷,18,满分12分)数列{an}满足a1=1,a2=2,求a3,a4,并求数列{an}的通项公式;例2(2009年江西,文,21,满分12分)数列{an}的通项,其前n项和为(1)求sn;(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn例3(2009年江西,理8,5分)数列{an}的通项,其前n项和为sn,则sn为()A.470B.490C.495D.510

2、类型2:an+1=an+f(n)例4(2008,江西,理5)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=例5(2009,全国I,理22)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1)设,求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和。类型3:an+1=f(n)an解法思路:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解例6(2004,全国I,理15)已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项an=_____类型4:an+1=pan+q(其中

3、p、q均为常数,且pq(p-1)≠0)解法思路:待定系数法,把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中,再利用换元法转化为等比数列求解,或转化为二队循环数列来解(见后文),或直接用逐项迭代法求解。例7(2008年,安徽,文21)16设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a、c为实数,且c≠0求数列{an}的通项公式;类型4的变式:an+1=pan+f(n)解法思路:通过构造新数列{bn},消去f(n)带来的差异,例如下面的类型5:an+1=pan+qn(其中p、q均为常数,pq(p-1)(q

4、-1)≠0)(或an+1=pan+rqn,其中p、q、r均为常数)解法思路:一般地,要先在原递推公式两边同除以qn+1,得,引入辅助数列{bn}(其中),得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为),(其中),则直接转化为等比数列例8(2006,全国I,理22,12分)设数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an。例9(2009,全国II,理19)设数列{an}的前n项的和(1)设,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式。类型6:(其中p,q均为常熟)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为,其中s,t满

5、足解法二(特征根法):对于由递推公式,=,=给出的数列{an},方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列{an}的通项为,其中A、B由=,=决定(即把和n=1,2,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A、B由=,=决定(即把和n=1,2,代入,得到关于A、B的方程组)。例10(2006,福建,文22)已知数列{an}满足=1,=3,()。(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若数列{bn}满足(),证明{bn}是等差数列16类型7递推公式为Sn与的关系式(或Sn)解

6、法思路:这种类型一般利用=或=消去进行求解。例11.(2009,湖北,理,19)已知数列{an}的前项和Sn=--+2(为正整数),令=,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式例12(2008,全国II,理,20)设数列{an}的前n项和为Sn,已知=,=Sn+(),(Ⅰ)设=-,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若≥(),求的取值范围。类型8an+1=pan+an+b(p≠1,a≠0)解法思路:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比p为的等比数列。例13.(2006山

7、东,文,22)已知数列{an}中,=,点在直线上,其中(Ⅰ)令,求证数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项。类型9(p>0,>0)解法思路:这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。例14(2005,江西,理,21)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:求数列的{an}通项公式例15(2006,山东,理,22)已知,点在函数的图像上,其中证明数列是等比数列类型10解法思路:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。16例17(2006,江西,理,22,本大题满分14分)已知数列满足:求数列的通项公式

8、;类型11解法思路:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且ph≠qr,r≠0,),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征议程有两价目相异的根x1、x2时,则是等比数列。例19(2009

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