第9讲-隐函数求导法则

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1、《数学分析II》第9讲教案第9讲隐函数及其求导法则授课题目隐函数及其求导法则教学内容1.隐函数的定义；2.隐函数存在性定理；3.隐函数可微性定理；4.隐函数求导法则.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地理解隐函数概念，理解隐函数定理的条件及结论，掌握隐函数求导法则（含二阶导数）.教学重点及难点教学重点：隐函数求导法则；教学难点：隐函数可微性定理.教学方法及教材处理提示（1）本节的重点是隐函数概念及隐函数求导法则，通过简单实例讲清隐函数概念，把显函数看成是隐函数的特例。（2）以为例得出隐函数求导方法，类似地得出由方程所确定地隐函数

2、的求导方法，并布置足量的习题.（3）先讲隐函数求导法则，再讲隐函数定理的条件与结论，对于较好的学生要求了解隐函数定理的证明要点并能熟记隐函数定理的条件与结论(4)隐函数可微性定理的证明是本讲的教学难点，对较好学生要求他们能理解．作业布置作业内容：教材:3（2，3，5），4，5.讲授内容一、隐函数概念在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如，这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。本节主要介绍由一个方程所确定的

3、隐函数及其求导法；若由确定的隐函数为则成立恒等式例如方程，当定义在上时，可得隐函数，即由方程能确定一个定义在上，函数值不小于0的隐函数；又能确定另一个定义在上，函数值不大于0的隐函数。方程当时，就不能确定任何函数，使得而只有当时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程在什么条件下才能确定隐函数。倘若方程能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程中解出4《数学分析II》第9讲教案，并用自变量的算式来表示（即使是初等函数）。对于方程可以证明确实存在一个定义在上的函数，使得但这函数却无法用的算式来表达。如果进一步要求上述隐函数（或）在

4、点可微，则在为可微的假设下，通过方程在点处对求导，依链式法则得到可得到以下结论。由，两端对求导，依链式法则可得：，所以，当时，由上式可解出同理，当时，可得二、隐函数定理定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若函数满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv）0，则在点的某邻域内，方程=0惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得1º,当时，且；2°在内连续.证明：（只介绍证明大意，证明全过程留给同学自学）.例如图18-3所示的双纽线，其方程为由于，与均连续，

5、故满足定理条件(i)(ii)(iii)．但因，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．定理18.2（隐函数可微性定理）设满足隐函数存在唯一性定理中的条件，又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域4《数学分析II》第9讲教案内有连续导函数，且定理18.3（隐函数可微性定理）设三元函数满足隐函数存在唯一性定理中的条件，又设在内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续偏导函数，且.三、隐函数求导举例例1设由方程所确定的隐函数，求和解：由于及其偏导数在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ

6、）条件ⅳ），且（满足第（ⅱ）个条件，即初始条件），(满足第（ⅳ）个条件)。故方程确定了一个连续可导隐函数；其导函数为例2讨论笛卡儿（Descartes）叶形线（图18-4）所确定的隐函数的一阶导数.解:显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶导数如下：对方程求关于的导数（其中是的函数），得或于是例3讨论方程在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数.4《数学分析II》第9讲教案解：由于处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数，且可求得它得偏导数如下：例4设由方

7、程所确定的隐函数，求，解：假设由方程能确定隐函数，在方程两边分别对和求偏导数，得解方程组得，例5（反函数的存在性与其导数）推导反函数的求导公式：证：设在得某邻域内有连续的导函数，且.考虑方程由于，，所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数.反函数的导数是4