高等代数第二章 多项式教案

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1、第二章多项式教学目的要求一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配多项式的定义和运算（2学时）；多项式的整除性（4学时）；最大公因式（4学时）；因式分解定理（4学时）；重因式（4学时）；多项式函数及多项式

2、的根（4学时）；复数域和实数域上的多项式（4学时）；有理数域上的多项式（4学时）多元多项式；对称多项式（2学时）；习题课（2学时）．重点、难点理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代数基本定理，C、R、Q上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表示对称多项式．教学手段传统教学和多媒体教学相结合．2．1一元多项式的定义和运算教学目的掌握一元多项式的

3、定义,有关概念和基本运算性质.重点、难点一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律．教学过程讲授练习．１.多项式的定义令R是一个数环,并且R含有数1,因而R含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复先讨论R上一元多项式定义1数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式，（１）这里n是非负整数而都是R中的数.在多项式(1)中,叫做零次项或常数项,叫做一次项,一般,叫做i次项,叫做i次项的系数.一元多项式常用符号f(x),g(x),¼来表示.2.相等多项式:定义2若是数环R上两

4、个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)说是相等;f(x)=g(x)非负整数n叫做多项式,()的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为0.以后谈到多项式f(x)的次数时,总假定f(x)¹0.多项式的次数有时就简单地记作.3.多项式的运算:是数环R上两个多项式，并且设m£n，多项式f(x)与g(x)的和f(x)+g(x)指的是多项式这里当m

5、这里我们定义f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))4.多项式加法和乘法的运算规则①加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x)；②加法结合律:(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x));③乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x);④乘法结合律:(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式

6、写成⑵当时，叫做多项式⑵的首项5.多项式的运算性质定理2.1.1设f(x)和g(x)是数环R上两个多项式,并且f(x)¹0,g(x)¹0.那么a)当f(x)+g(x)¹0时,b)证：设，，并且.那么，⑶，⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过n，另一方面，由an¹0，bm¹0得anbm¹0．所以由(5)得f(x)g(x)的次数是n+m.推论2.1.2f(x)g(x)=0必要且只要f(x)和g(x)中至少有一个是零多式．证若是f(x)和g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x

7、)=０(x)¹0且g(x)¹0，那么由上面定理的证明得f(x)g(x)¹0．推论2.1.3若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)¹0，那么h(x)=g(x)证由f(x)g(x)=f(x)h(x)得f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)¹0，所以由推论2.1.2必有g(x)-h(x)=0,即g(x)=h(x).由于推论2.1.3成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。我们用R[X]来表示数环R上一个文字x的多项式的全体，并且把在R中如上定义了加法和乘法运算的R[X]叫做数环R上的一元多项式环

8、．作业P31:1,3.2.2多项式的整除性教学目的掌握一元多项式整除的概念及其性质,熟练运用带余除法求以g(x)(g(x)¹0)除f(x)所得的商式和余式.重点、难点带余除法定理的证明.教学过程讲授练习.1.多项式整除的概念设F是一个数域.F[x]是F上一元多项式环.定义令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两个多项式.如果存在F[x]的多项式h(x),使g(x)=f(x)h(x),我们就说,f(x)整除(能除尽)g