经济数学基础讲义 第2章 导数与微分

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1、第2章导数与微分2.1极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例1圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2讨论当时，的变化趋势.例3讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.3设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为或 若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，

2、则称函数在处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.时，（）2.（包括这两种情况）例1讨论时,=？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，，即=4例2 讨论函数,当时的极限解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到2.1.3左极限和右极限考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限.因为在处无定义.15又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念.定义2.4 设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数

3、无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作　=L；如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作=R.极限存在的充分必要条件：极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即例3 ,求解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.，可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.2.1.4无穷小量称当时，为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量

4、的关系是：15变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即无穷小量的有以下性质：性质1有限个无穷小量的和是无穷小量；性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.     无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大；反之，若是无穷大，则是无穷小.例4 ，当时，解：由图形可知，当时，，当时，是无穷小量.2.2极限的运算2.2.1极限的四则运算法则在某个变化过程中，

5、变量分别以为极限，则，例1求解：例2求解：例3求15解：例4求解：2.2.2两个重要极限1.几何说明：如图，设为单位圆的圆心角，则对应的小三角形的面积为，对应的扇形的面积为，对应的大三角形的面积为当时，它们的面积都是趋于0的，即之比的极限是趋于1的.例1     解：=2.例2 求极限解:例3 求极限解2.3函数的连续性定义设函数在点的邻域内有定义，若满足，则称函数在点处连续.点是的连续点.15函数间断、间断点的概念如果函数在点处不连续，则称在点处发生间断.使发生间断的点，称为的间断点例如函数，，在定义域内都是连续的. 例1 ,问在处是否连续？注意：此函数是分段函数，是函数的分段点

6、.解:，不存在，在处是间断的.例2 ,问在处是否连续？解:                （无穷小量×有界变量=无穷小量）在处是连续的.结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3解:注意：是初等函数，在处有定义，利用结论有极限值等于函数值.2.4导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念.三个引例 边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题引例1：边际成本问题15C—总成本，—总产量已知（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）），（成本平均变化率），（边际成本）引例2: 瞬时

7、速率问题路程是时间的函数，当从时，从 （平均速率） （在时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线在处的切线斜率.当时，对应的，曲线上和两点间割线的斜率为 （当时）， 称为切线的斜率.关于函数，，考虑极限定义设函数在点的邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量15时，函数取得相应的改变量.若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为在点处的导数， 记为或或或即 =若极限不存在，则称函数在点处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.导