高等代数的解题方的研究

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1、高等代数的解题方法的研究专业：信息与计算科学姓名：何彩霞指导老师：陈丽摘要：本文介绍了行列式的几种计算技巧，线性方程组解得讨论，以及线性变换。任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。其实，计算行列式并无固定的方法，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。本文主要从理论浅析线性变换定义和线性变换性质与运算以及线性变换与矩阵的关系,并通过例子加深读者对其

2、的印象.关键词：行列式，线性方程组，线性变换19引言本文分三章，即行列式的几种计算技巧、线性方程组解得讨论及线性变换，每章包括基本知识点和举例说明，这些例题都是本文解题方法和技巧的高度概括的总结。关于行列式计算的问题，本文用（1）化三角形法，（2）降阶法，(3)升阶（加边）法，(4)分项（拆开）找递推公式，(5)利用方阵特征值与行列式的关系五种方法来计算行列式。本文首先给出线性方程组（齐次线性方程组和非齐次线性方程组）表达式及矩阵的秩和线性方程组的基础解系的定义，找出方程的解存在的条件及解的唯一性的条件与矩阵的秩的关系。进一步讨论有无穷解时怎样利用解空间、基础解

3、系找出方程组的解，研究找出基础解系的方法。线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象，我们要认识客观事物，固然要弄清楚它们单个和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的关系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线形空间的映射.线形空间到自身的映射通常称为的一个变换.这就有了线性变换，本文所讨论的线性变换是最基本的一种变换，线性变换是线性代数的一个主要研究对象。第一章行列式的几种计算技巧降阶法、升阶法、分项递推法、公式法等其它方法来变换行列式，再通过我们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。下面介绍行列式计算的一些技巧：1.1化三角形法19化三角形法是将原行列

4、式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式例1：计算行列式通过观察，从第1列开始，每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。解:1.2降阶法A、利用行（列）初等变换。1）交换两行（列）；2）某行（列）乘以k倍；3）某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。B、看行和（列和），如行和相等，则均可加到某列上去，然

5、后提出一数。19C、逐行相减（加）D、找递推公式，注意对称性。E、Laplace展开。例2：利用降阶法计算n阶行列式解：按第一列展开，得+（-1）这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式，把它记作；第二个n-1阶行列式等于（-1），所以=x+a这个式子对于任何n(2)都成立，因此有=x+a=x(x+a)+a=x+ax+a=……=x+ax+…+ax+a但==x+a,所以=x+ax+…+a把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，是一个常用的方法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。1.3升阶（加边）法=19这里升阶是为了降阶，在*处加上所需要的

6、数，即刻可以简化detA的计算，用此方法时注意行列式阶数的变化。例3：解：原行列式可化为=将第一行上的元素乘以（-1）加到一下各行，得再将第2列起各列上的元素均加到第1列上去，得=1+a+a+…+a1.4分项（拆开）找递推公式=+其中（j=1,2,…，n）为n维列向量。例4：计算行列式的值。19解：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆开得+=+=++=2+3=51.5利用方阵特征值与行列式的关系。为例。解：==bI+=bI+bI的n个特征值为b,b,…，b。的n个特征值为0，0，…，0。故的特征值为b+19由矩阵特征值与对应行列式的关系知：D==b(+b)

7、[注]M的特征值也可由特征值的定义得到。例11：求行列式D=的值。==3I+=3I+A3I的4个特征值为3，3，3，3.A的4个特征值为10，0，0，0.故的特征值为13，3，3，3，由矩阵特征值与对应行列式的关系知：D==3(10+3)=351综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。第二章线性方程组解的讨论2.1、消元法在线性方程组这一章中，我们讨论了一般线性方程组求解的问题

8、。所谓一般线性方程组是指