古典概型中的几类基本问题

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1、古典概型中的几类基本问题1　引言对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作：一是明确分辨问题的性质，即是不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定（基本事件总数）和（有利事件总数）的值，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕和展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，

2、揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2摸球模型摸球模型是指从个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地从中取出（）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一般说来，根据摸球的方式不同，

3、可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间：表一从个球中摸个球摸球方式不同摸法总数有放回计序不计序无放回计序不计序8其中表示从个不同元素中取个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：2.1有放回且有计序摸球如果摸球是从个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例用、两个数字组成个数，组成多少个数？思考方法　在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字

4、，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是、的任一个．依乘法原理不同的组合数有个．2.2有放回且无计序摸球从个相异元素每次取出允许重复的个元素，不计次序并成一组，叫做从个相异元素允许重复的元组合，其所有组合的个数为，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法　作为有放回不按序摸球问题，设表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为，事件所含的基

5、本事件数为,故所求概率为．2.3无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数为，或是个互异元素的全排列，这种情形也是摸球模型的重要类型．例袋中有个白球，个黑球，从中陆续取出个球，求这个球依次为黑白黑的概率．思考方法　每一个样本点对应着个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用表示事件“取出个球依次为黑白黑”，从个球中依次任取三个，有8种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在个黑球中依次取得，有种取法；第二个白球可在个白球中

6、取得，有种取法．因此，所包含的样本点总数为，于是．2.4无放回且不计序问题如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例袋中有个白球，个黑球，问：从中不放回取出（）个球，试求所取出的球恰有个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为，此事件为“取出个球中恰有个白球”，而事件所包含的样本点数，相当于从个白球中取出个，从另外个球中任取个取法种数共，所以．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球

7、换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取张，求得张红色的和张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、、选等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数

8、学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3质点入盒模型该模型是指有个可分辨的盒子，（）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把个质点放入个可分辨的盒子，从而形成不同的