函数方程和函数迭代问题

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1、第四讲函数方程和函数迭代问题在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一.探求函数的解析式1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.例1解函数方程f(x)+f()=1+x(x≠0,x≠1)例2设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+b

2、f(1-x)=cx,其中a,b,c为实常数,求f(x)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3已知定义在R的函数满足⑴f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)cos2x2+4asin2x2(x1,x2∈R,a为常数)⑵f(0)=f()=1⑶当x∈[0,]时,f(x)≤2试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a的取值范围.例4f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的

3、f(x)⑴f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵f(2)=0⑶当0≤x＜2f(x)≠03递推法例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=,且对任意x,y∈N,有f(x+y)=(1+)f(x)+(1+)f(y)+x2y+xy+xy2,求f(x)4.柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6设f(x)是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x

4、,y有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5,待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a0xn+a1xn-1+….+an(a0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x最高次幂的指数和x同次幂的系数,便可得出关于n及a0a1…an.的方程组,解这个方程组便可确定n及a0a1…an的值,从而得到函数方程的解例７　　确定符合下列条件的所有多项式f(x)f(x+1)=f[f(x)]+6,利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴若对任意x∈

5、I,有f(x)≥g(x)及f(x)≤g(x)则对任意x∈I,有f(x)＝g(x)⑵若对任意x,y∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y∈I有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x∈I).⑶若f:N→N满足m≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m或m-1＜f(n)＜m+1(m,n∈N)则f(n)=m,例8设f(x)是具有下列性质的函数⑴f(n)对每一正整数n有定义;⑵f(n)是正整数;⑶f(2)=2⑷f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n成立;⑸f(m)＞f(

6、n),当m＞n时试证:f(m)=f(n)例9设f(n)是定义在自然数集N上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m与n,只要m≥n就有f(m)≥n,试证:f(m)=m对任意的自然数m成立.例10设f(n)是定义在自然数集N上的函数,满足:⑴f(n)的值域为整数;⑵当m＜n时,f(m)＜f(n);⑶当m,n互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二.探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求

7、参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11.设N是自然数集,f(x)是定义在N上并在N内取值的函数,且对x,y∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12.设f(n)对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13.设f(x),g(x)是定义在正整数集Z+上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z+)∪g(Z+)=Z+(⑵f(Z+)∩g(Z+)=⑶

8、g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题　的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.1单调性穿脱法对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问