理想晶体带间光跃迁

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1、第三章理想晶体带间光跃迁总体系：光子+电子+声子3.1直接跃迁--速率和选择定则电子-声子相互作用可忽略的情形：单由光子-电子相互作用引起的没有声子参与的光跃迁跃迁初末态就不必标记其声子状态初态跃迁到末态跃迁速率：归结为计算相互作用哈密顿量在跃迁初末态之间的矩阵元。费米黄金规则：（3.1-1）在一级近似下（单光子跃迁），弱辐射场与原子体系（其中的电子体系）相互作用哈密顿量近似为：其中为相关的光场(模式)的矢势如（1.2-7），（1.2-9），（1.2-10）所示跃迁速率：(一阶微扰)正比于初末电子态和间

2、的矩阵元的平方，即(3.1-2)初末电子态和：相应电子组态的行列式波函数绝热近似，单电子近似和能带近似→理想晶体电子态的能带图像理想晶体的带间（直接）光跃迁是光与电子体系相互作用导致的，在两个电子组态（相应的波函数为行列式波函数）间的跃迁上述矩阵元的性质：注意：微扰哈密顿算符是单电子算符之和，它具有如下的一般形式：（3.1-3）其中右边求和式中的每一项都只与某一个电子的坐标有关，其形式不随而变-®算符对电子的交换是对称的下面我们先讨论算符的矩阵元的性质，然后由此推断出几个跃迁选择定则。一.单电子算符在行

3、列式波函数间的矩阵元设跃迁初末态的波函数为如下的行列式波函数：（3.1-4）（3.1-5）其中为由N个正交归一的单电子波函数构成的行列式。也类似。*我们要计算的矩阵元为单电子算符矩阵元之和（3.1-6）令算符代表电子对换的操作，由行列式的性质可知（3.1-7）（3.1-8）因而有（3.1-9）而符号的交换，不改变矩阵元的值，即（3.1-10）可得即：的矩阵元与电子标号无关。于是（3.1-11）引进波函数行列式的元素的代数余子式：去掉中的i行j列后余下的N-1阶行列式乘以。于是可以将用展开，如果取，展开式

4、如下（3.1-12）类似的，（3.1-13）相应地，矩阵元可表示为（3.1-14）其中，为波函数行列式和的标积注意：波函数行列式的展开式是单电子波函数的乘积波函数之代数和，波函数行列式间的标积，就是一系列乘积波函数间的标积之和。由于单电子波函数是彼此正交归一的，因而，仅当两个乘积波函数的各相应单电子波函数都相同，它们的标积等于1，其它情形都为零。这就是说，矩阵元的值与初末态的电子组态，即其中包含的单电子态，直接相关下面分三种情形进行讨论，从中可以引出若干基本的选择定则（为方便起见，以下的讨论中，初末态所

5、包含的相同单电子波函数的序号都相同。）1.和是同一状态，即二者相应的单电子波函数都相同，。这时（3.1-15）2.与中，对应的单电子波函数中，只有一个不同(设为)，即，除在这情形，于是（3.1-16）矩阵元等于初末态中不相同的那个单电子态间的单电子矩阵元3.与的单电子波函数中有一个以上不同和二者中至少有一个单电子波函数不同，因而它们的标积，即（3.1-17）选择定则：对带间光跃迁，电子体系两个状态间的直接光跃迁速率正比于下述矩阵元的模的平方利用上面关于矩阵元的结果，可以对带间直接光跃迁，推论出几个选择定

6、则。1.跃迁的初末电子态和的电子组态只差一个单电子态,否则。也就是说，对一级过程（通常也是最重要的过程）光跃迁，晶体初末电子态（组态）只有一个单电子态发生改变。而跃迁矩阵元也就等于这两个不同的单电子态间的单电子矩阵元。换言之，我们可以把电子系的光跃迁看成是单个电子的跃迁，以后我们就可以用这样的语言来描述带间光跃迁的元（elementary）过程。2.对带间单电子跃迁，初末态电子自旋不变。设电子初态为带V中波矢为，自旋为的状态，末态为带C中波矢，自旋的状态。单电子带间直接单光子跃迁矩阵元可表示为（3.1-

7、18）上式表明单电子跃迁中电子自旋守恒这实际上是由于所作的近似下，没有考虑电子轨道运动与自旋，辐射场与电子自旋间的相互作用，因而不会影响到电子的自旋状态。3.准动量守恒如上式（3.1-18）所示决定跃迁速率大小的矩阵元的主要部分为下述因子(3.1-18’)理想晶体的单电子态由布洛赫函数描述（3.1-19）（3.1-20）动量算符中的作用在布洛赫函数上的结果可表示成（3.1-21）于是，矩阵元(3.1-18’)可化为（3.1-22）上式对整个晶体空间积分。可以写成对每个原胞的积分之和（3.1-23）其中，

8、对各原胞的积分，由于波函数的平移对称性，对不同原胞都相等，即（3.1-24）也由于晶体的平移对称性，求和（3.1-23）不为零的条件是：（3.1-25）其中为晶体的任一倒格矢，为光场的波矢，和分别为跃迁前后电子的布洛赫波矢。因波矢与动量的比例关系，这一条件常称为准动量守恒。考虑到光子波数，而电子的波数为布里渊区大小的量级，即，为晶格常数。可见光子波数比电子波数的取值范围小得多。即准动量守恒可近似表示成：。如果和都限制在第一布里渊区,则只能为