第三讲：初等数论3——同余的性质和应用

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1、五年级第一学期讲义第三讲：初等数论3——同余的性质和应用第三讲：初等数论3——同余的性质和应用三、巩固练习1.今天是星期三，到第1000天是星期几？解：从今天到第1000天相隔999天，1000-1≡5(mod 7)，3+5-7=1，是星期一.2.若1059，1417，2313分别被自然数x除时，所得余数都是y，则x-y=．解：∵1059≡y(mod x)，1417≡y(mod x)， 2313≡y(mod x)，∴1417-1059=358≡0(mod x)，2313-1417=896≡0(mod x)， 2313-1059=1254≡0(mod x)又（3

2、58，896，1254）的最大公约数为2，则x=2， y=1，x-y=1．3.若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是（   ）A.25                   B.26                   C.27                   D.28解：1995除以6的余数是3，a≡1995 (mod 6)，a除以6的余数也是3，只有a=27，选C.4.一个两位数被7除余1，它的反序数被7除也余1，那么这样的两位数共有（   ）A.2个                B.3个                 C.4个      

3、          D.5个解：列出满足条件的所有两位数：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99    两位数据反序数也满足条件的有：22，29，92，99，选C.5.设n为自然数，则32n+8被8除的余数是_________.解：由32n+8=9n+8，知32n+8≡1n+0(mod 8)≡1(mod 8) ，故32n+8被8除余1.6.黑板上写着13个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，2008，2018，2028．小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦

4、掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为13的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法，不能请说明理由．答案：可以：依次擦掉（2028）；（1958，1968）；（1908，1938，1978）；（1918，1928，1998，2008）。（1948、1988、2018）解：思路如下：写出的13个数除以13余数互不相同，10，7（mod13），4（mod13）、1（mod13）,11(mod13)、8(mod13)、5、2、12、9、6、3、0、每一次操作就是去掉13的倍数

5、，即要将0～12分成五组，每一组数的个数分别为1，2，3，4，3，使得每一组数之和都是13的倍数。2五年级第一学期讲义第三讲：初等数论3——同余的性质和应用7.在“圆明杯”数学竞赛中，数学老师出了一道题：“2011分别除以m个不同的自然数，得到的余数都是11”，请推算m的最大值是解：这m个自然数都大于11，且都是2000的约数。所以只需求2000的大于11的约数即可。2000的约数共20个，其中小于11的有1，2，4，5，8，10共6个，所以m的最大值为14.2