高考数学大二轮总复习与增分策略-专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用练习 理

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1、第2讲　函数的应用1．(2016·天津)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)A.B.∪C.D.∪答案　D解析　f(x)＝＋sinωx－＝(sinωx－cosωx)＝sin.因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－

2、f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤或≤ω≤.2．(2016·天津)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程

3、f(x)

4、＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)A.B.C.∪D.∪答案　C解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0

5、f(x)

6、和y＝2－x的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，

7、f(x)

8、＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，

9、f(x)

10、＝2－x

11、同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．综上所述，a∈∪.故选C.3．(2016·山东)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　如图，当x≤m时，f(x)＝

12、x

13、；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4

14、m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<

15、m

16、.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案　16解析　由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝××1＝.1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用

17、以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一　函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1　(1)已知实数a>1,0

18、b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)A．2B．3C．4D．5答案　(1)B　(2)A解析　(1)因为a>1,00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．(2)当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；当x<0

19、时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.16由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)．所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.思维升华　函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定

20、；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1　(1)函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2