实数的概念及性质

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1、实数的概念及性质　　第六讲实数的概念及性质　　数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．　　从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．　　由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．　　　有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：　　1．有理

2、数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．　　2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．　　例题求解　　【例1】若a、b满足3=7，则S＝的取值范围是　　　．　　　(全国初中数学联赛试题)　　思路点拨运用、的非负性，建立关于S的不等式组．　　　注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但

3、是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．　　【例2】设是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个(　　)　　A．小于0的有理数　B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数　　　(武汉市选拔赛试题)　　思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．　　【例3】已知a、

4、b是有理数，且，求a、b的值．　　思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．　　【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市竞赛题)　　(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)　　思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．　　注：设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x

5、的整数部分，有以下基本性质：　　(1)x－1<≤x(2)若y

6、之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．　　注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．　　学力训练　　1．已知x、y是实数，，若，则a=　　　．　　　(2002年个数的平方根是和，那么这个数是　　　．　　3．方程的解是　　　．　　4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴；同样∵1112=12321，∴；…由此猜想　　　．　　　(济南市中考题)　　5．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、

7、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是(　)　　A．　B．　C．　D．　　　(江西省中考题)　　6．已知x是实数，则的值是(　)　　A．　B．　C．　D．无法确定的　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　7．代数式的最小值是(　)　　A．0　　B．　C．1　D．不存在的　　　(“希望杯”邀请赛试题)　　8．若实数a、b满足，求2b+a－1的值．　　(山西省中考题)　　9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．　　，；，；，；…　　(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；　　(2)推算出OA10

8、的长；　　(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．　(烟台市中考题)　　10．已知实数a、b、c满足，则a(b+c)=　　．　　11．设x、y都是有理数，且满足方程，那么x－y的值是　．　　　(“希望杯’邀请赛试题)　　12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=　　．　　　(四川省竞赛题)　　13．已知正数a、b有下列命题：