1994考研数二真题及解析

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1、Borntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)若在上连续,则＿＿＿＿＿＿.(2)设函数由参数方程所确定,则＿＿＿＿＿＿.(3)＿＿＿＿＿＿.(4)＿＿＿＿＿＿.(5)微分方程的通解为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设,则()(A)(B)(C)(D)(2)设,则在点处的()(A)左、右导数都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在(D)

2、左、右导数都不存在(3)设是满足微分方程的解,且,则在()(A)的某个领域内单调增加(B)的某个领域内单调减少(C)处取得极小值(D)处取得极大值(4)曲线的渐近线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条Borntowin(5)设,,则有()(A)(B)(C)(D)三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求.(2)计算.(3)计算.(4)计算.(5)如图,设曲线方程为,梯形的面积为,曲边梯形的面积为,点的坐标为,,证明：.四、(本题满分9分)设当时,方程有且仅有一个解,求的取值范围.五、(本题满分9分)设,(1)求函

3、数的增减区间及极值；(2)求函数图像的凹凸区间及拐点；(3)求其渐近线；(4)作出其图形.Borntowin六、(本题满分9分)求微分方程的通解,其中常数.七、(本题满分9分)设在上连续且递减,证明：当时,.八、(本题满分9分)求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积.Borntowin1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】在时是初等函数,因而连续；要使在上连续,在处也连续,这样必有.由极限的四则混合运算法则和等价无穷小,时,；.,从而有.(2)【答案】【解析】,.【相关知识点】复合

4、函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】【解析】原式.【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则.(4)【答案】,其中为任意常数Borntowin【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解.显然是先进入积分号,原式其中为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则或者(5)【答案】,为任意常数【解析】这是可分离变量的方程.分离变量得,两项分别对和对积分

5、得到化简有,即,为任意常数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得,由假设,应该有,故由此,故应选(A).方法2：用洛必达法则.为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以,Borntowin(若,则原式极限为,必有).故应选(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因左可导,.又不右连续在的右导数不存在,故选(B).方法2：,而,所以,在点不连续,故不可导,但左,右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.故在点左导数存在,但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C

6、)【解析】由于满足微分方程,当时,有.又由,有,因而点是的极小值点,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限,令,则当时,,且有,Borntowin所以轴和是曲线的两条渐近线.而和并非曲线的渐近线,因当和时,分别趋向于和.故应选(B).【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有,则为水平渐近线；铅直渐近线：若有,则为铅直渐近线；斜渐近线：若有存在且不为,则为斜渐近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故,且由定积分的性质,如

7、果在区间上,被积函数,则.所以,.因而,应选(D).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】方程两边对求导,得,两边再求导,得,由于一阶导数不等于1,所以.以代入并解出,得.【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(2)【解析】用换元积分法.Borntowin观察被积函数的特点,可考虑引入三角函数化简.令,则.当时,；当时,,故原式.【相关知识点】定积分关于单三角函数的积分公式：注：对于双阶乘的定义如下:当为奇数时,；当