4.1 微分中值定理

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1、4.1微分中值定理当前讲授前言　　中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质，与函数在该区间内部某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理．中值定理有着重大的理论价值，因而也称为微分基本定理．　　极值的概念：如果把图中函数曲线的图形直观地理解为连绵起伏的群山，那么那些山峰的峰顶（上凸之处）即为极大值，那些谷底（下凹之处）即为极小值，轴上对应极大值和极小值的点分别称为极大值点和极小值点．　　由此可见，图中的曲线有极大值三处，相应的极大值点分别为,,；有极小值四处，相应的极小值点分别为,,,．　　　　极值的定义　设函数在的某个邻域内恒有或（）成立，则称是函数的一个极大

2、值(或极小值)．　　极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．　　可见，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值．　三个中值定理　　 费马定理　罗尔定理　拉格朗日中值定理 　　1、费马定理 　　若函数在处可导，并且是极值点，则． 　　根据导数的几何意义，某点导数为零，即曲线在该点的切线斜率为零，亦即曲线在该点的切线平行于轴．　　费马定理的几何意义为：若是函数的极值点，且函数在处可导，则曲线在点处的切线一定是水平的．　　我们将导数为零的点称为驻点．则费马定理又可表述为: 可导的极值点一定是驻点． 　　例如，图中的点是可导的极值点，画出曲线在此点的

3、切线，可以看出，它是水平的，从而切线斜率为零，即导数为零，所以点是驻点．点,,,,也都是可导的极值点，从而也都是驻点．　　2、罗尔定理 　　设函数满足　　(1)在闭区间上连续，　　(2)在开区间内可导，　　(3) 　　则至少存在一点，使得，即在内至少有一个驻点．　　罗尔定理的几何意义是：如果函数满足所给的三个条件时，则在区间内部至少能找到一个点，该点处切线是水平的．　　3、拉格朗日中值定理 　　设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得即　　注意到结论中，等式的右端正好是连接A点和B点的直线的斜率（两点的纵坐标之差与两点的横坐标之差的比值）

4、，所以拉格朗日中值定理的几何意义是：在内至少能找到一点，该点处的切线平行于弦．例如图五中的点，曲线在该点处的切线即平行于弦．　　典型例题： 　　例题4.1.1：在区间上满足罗尔定理条件的函数是(　　)．相关定理提示>>      A. B.      C. D.　　解：A选项中的函数在处无定义，从而在上有间断点，即在上不连续，所以不满足罗尔定理．　　B选项中的函数在上连续，而且在开区间是可导的，导数是，但是在区间的两个端点处函数值不相等，所以也不满足罗尔定理的条件．　　C选项中的函数，显然在区间的两个端点处函数值不相等，也不符合罗尔定理的条件．　　D选项中的函

5、数显然在闭区间上连续，在开区间内可导，且，所以满足罗尔定理的条件．选D．　　例题4.1.2：函数在区间上使拉格朗日中值定理结论成立的是(　　)．相关定理提示>> 　　      A. B.      C. D.　　分析：对照拉格朗日中值定理，结论中的点应满足等式．　　解：令，而，，所以有　　解得．故应选B．　　例题4.1.3：求证：当时，．　相关定理提示>> 　　解：设，在闭区间 上连续，在开区间内可导，且，满足拉格朗日中值定理的条件，所以，在开区间内至少有一点，使得　　即，　　而，所以，，即，亦即 ．两个重要推论　　推论1：若在区间上的导数恒为零，则在区间上

6、为常数函数．　　显然：函数为常数的充分必要条件是其导数为零．　　推论2：若在区间内，则在内恒有　　　　　　　　　　　（C为常数）　　此推论告诉我们，导数相等的两个函数，它们彼此之间至多相差一个常数．例如和的导数相等，均为，它们之间相差3．