复变函数复习20100102

《复变函数复习20100102》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第一章：考核要求：1、复数1.1复数的各种运算、表示法（应用）2.复数的乘幂和方根。（应用）3、复平面上点集平面点集的几个基本概念（领会）4初等函数指数函数、对数函数、幂函数（应用）三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数。（记住sinz和cosz的定义，其他三角函数可由此推导）要点：1、复数的表示2求主幅角方法3.方根函数、对数函数和幂函数运算。注意点：1、复数不能比较大小。例如i和2i不能比较大小。2、z=0的模为0，幅角不存在。3、当z为复数时，sinz，cosz的值可以大于1.第二章考

2、核要求：1复极限、复连续（识记，与实数函数的定义类似）2、解析函数的概念与C－R条件1.1复变函数可导与解析（领会）1.2解析函数的C－R条件（应用）3、初等解析函数例指数函数、幂函数、三角函数的解析性质（识记）4.调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系（识记）注：若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，则称v为u的共轭调和函数，且f解析。要点：1、设，那么的必要与充分条件是且。注:可导的函数一定连续.2、函数在定义域内一点可导的必要与充分条件是：和在点可微，并且在该点满足柯西—黎曼方程注

3、：如果可导，必须同时满足，只满足其中的一个式子不一定可导！！！3、求导公式：记住第一个式子，其他三个可以根据柯西-黎曼方程得到。.4函数在Z点可导，且在Z领域内也可导，则函数在Z点解析5、已知函数的实部或虚部求解函数表达式的方法（两种）（1）偏积分法例1、已知是调和函数求解析函数解：(c为实数)(为实数)(2)线积分法同上例(为实数)(为实数)第三章考核要求：1、复积分的概念性质1.1复积分（识记、领会、应用，与实数积分类似）2、柯西积分定理（领会、应用）3、柯西积分公式及推论3.1柯西积公式与

4、高阶导数公式（领会、应用）要点：1、积分2、例3.6（这是一个比较重要的结论，解题方法也是我们应该掌握的）计算积分，其中C为以为圆心，为半径的正向圆周，为整数。解:C的方程可以写作()当时,当时3、柯西定理：设C是一条简单正向闭曲线，在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么4、复合闭路定理：设D为由外线路C0及内线路C1，C2，…，Cn围成的有界多连通域，在多连通域D内及边界线C0，C1，C2，…，Cn上解析，那么（此定理可以用作求区域内含奇点的沿边界的积分，比较难理解）例如：求积分，其中C+为。

5、解：以0和1为圆心在C内取两个半径为0.1的圆，设其边界为C1-，C2-则有复合闭路定理有：所以5、如果是定义在C上的解析函数，则只与和z有关，与积分路径无关。6、柯西积分公式：设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，为D内任一点，那么7高阶导数公式：（说明：解析函数的高阶导数都是解析函数）设在简单正向闭曲线C及所围成的区域D内处处解析，为D内任一点，那么，这里n=0,1,2,…高阶导数应用的例子:求其中C为由高阶导数公式可知所以第四章考核要求：1、复级数的基本性

6、质1.1复数项级数（理解）2、幂级数2.1幂级数（识记、应用）3解析函数的Taylor展式：(理解，应用）4.解析函数的罗朗展式(应用)要点：1、若，则收敛，收敛2、若级数收敛，则级数必收敛。3、收敛半径求法1：求法2：；对于含有不连续项（例：下面级数只含有z的偶次幂项）的级数求收敛半径时,不能再用上面的公式.我们应该利用定理计算比如:求级数的收敛半径所以原级数的收敛半径是2.(如果用公式来算的话,结果是1,不信你算算).4、幂级数和函数的求法。幂级数和函数的性质：和函数在其收敛圆内是解析的，那

7、么它在其收敛域内是可以逐次求导，逐次积分。5.泰勒级数。6、罗朗级数对于将函数表达式展成罗朗级数，我们一般是利用一些已知函数的函数（包括几何级数、e指数函数、正弦函数和余弦函数）展开式来将表达式展开。所以我们要注意已知函数的收敛半径，并利用题目已给的条件，化成满足条件的形式。例如：（）展成罗朗级数。注：如果我们用来求解的时候，要求

8、z

9、<1（此为几何级数，比较重要，经常用来展开泰勒和洛朗级数）所以我们可以把函数表达式化成这样的形式如果z的取值范围是我们要把其中一些式化成含有的形式。第五章考核要求

10、：1.解析函数的孤立奇点（不包含无穷远点）（应用）孤立奇点的三种类型二、可去奇点三、极点四、本性奇点2.掌握留数的定义及计算方式。（不包含无穷远点）（应用）3、掌握留数定理求复变函数的积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的简单积分。（应用）要点：1、孤立奇点（1）、可去奇点判定：存在且有限,或展开的洛朗级数后没负幂次项。（2）极点判定：利用罗朗级数，或者用存在。（3）本性奇点判定：罗朗级数（既非可去奇点，也不是极点），即有无穷个负幂项。2、m阶极点和零点的关系3、留