2007-2008(2)数学模型试卷a答案

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1、南昌航空大学2007—2008学年第二学期考试卷答案课程名称：数学模型A卷闭卷120分钟题号一二三四五六七合计满分2025252010100实得分班级-------------------学号--------------姓名-----------------重修标记一、投资问题（20分）某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进40

2、0万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。解：设分别表示购买证卷A,B,C,D,E的金额（万元），则到期后的净收益为约束条件为；（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即（3

3、）所购进证券的平均到期年限不超过5年。(4)投资总额为1000万整理得到（以百万为单位）：第7页共7页二、战争模型（共计25分）下列方程给出了正规战争模型：，其中分别为甲、乙双方在时刻t的兵力，a,b分别为乙方和甲方的战斗有效系数。假设，问：乙取胜时的剩余兵力是多少？乙方取胜的时间如何确定？解：由模型：(1)消去t,得到相轨线方程为：，解得：(1)乙方取胜的充要条件是：当x=0时，等价于，因为，故乙方胜，当乙方取胜时从而。(2)为了求得乙方取胜的时间，解方程组(1),重写为：第7页共7页，求解得到A的特征值为

4、，对应的特征向量为对应的特征向量为，从而方程组（1）的解为：（2）从而，，由初始条件得到(3)当时，解得，将代入上式得到第7页共7页评阅人得分三、（传染病模型）（25分）模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记表示时刻t的病人人数，求所满足的微分方程，求出并对进行讨论（）。模型二：用分别表示在t时刻传染病人数和健康人数，。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）

5、总人数不变，；求t时刻传染病人数，并对模型及进行讨论。解：模型一：由假设在时间内，增加的病人人数为，于是得到微分方程为解得。讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当，，这显然不符合实际情况。模型二：由假设在时间内，增加的病人人数为，于是得到微分方程：模型求解：原方程变为，利用分离变量法得到，或，，或第7页共7页化简得到，其中，由初始条件得，故讨论：首先由知，当时，达到最大值，由，推出达到最大值的时刻为，这时病人人数增加最快，预示着传染病高潮的到

6、来；第二，与、N成反比，既总人数和传染强度增加时，传染病高峰来的越快。同时，如果知道了传染强度（可由统计数据给出），总人数N，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当，，既所有的人将要生病，这与实际不符。主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。四、（共20分）学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位：。假设相对于总目标选择工作C，准则“工资水平”和“个人发展”的权重为，相对于准则“工资水平”，方案的判断距阵为，相对于准

7、则“个人发展”，方案的判断距阵为，试用和法求方案对总目标的权重。答：第7页共7页中各列归一化各行求和再归一化=6分中各列归一化求各行平均值=6分所以三个方案对总目标的权重为：3分故三个待选单位的排名为1，3，2。五、贷款买房问题（共计10分）某高校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款10万元，年利率为6.39%(月利率为r=0.5325%),贷款期为20年(=240个月)，这对夫妇希望知道每月要还多多少钱，20年才可以还清？（1）假设这对夫妇每月可以节余1000元，是否可以去买房呢？（2）若贷款期还是20年(=24

8、0个月)，但第11年第一个月起，银行贷款年利率提高到12%(月利率为1%)，问从第11年的第一个月起，每个月要还多少款？（提示：设第个月欠银行的款数为，则第个月欠银行的款数(加上利息)应为，r为月利率，而一开始的借款数为）。解：设第个月欠银行的款数为，则第个月欠银行的款数(加上利息)应为，但每月的还款数为,故总的欠款数为，而一开始的借款数为，所以我们的数学模型可表述为：上述模型求解第7页共7页由；利