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1、第Ⅱ部 協力ゲームの理論第13章 フォンノイマン/モルゲンシュテイン解2008/07/02(水)ゲーム理論合宿Ｍ２ 渡辺美穂内容1.安定集合フォン・ノイマン/モルゲンシュテイン解定和3人ゲームの対称解定和3人ゲームの差別解2.非定和3人ゲームの解交渉曲線コアが空である非定和3人ゲームの解コアが空でない3人ゲームの解3.解と行動基準‥‥‥1安定集合・3人以上の協力ゲームに関し提案された最初の解．・この解は，安全な配分の集合なので安定集合ともよばれる．・すべてのゲーム理論の解はここから生まれ，ここへ帰っていく．フォン・ノ
2、イマン/モルゲンシュテルン解とは2安定集合ゲーム（N,v）が与えられたとき，配分の集合Aの部分集合Kが，以下の2つの性質を満たすとき，Kをフォン・ノイマン/モルゲンシュテルン解（安定集合）という．i)内部安定性配分xと配分yとがKに属するならば，xはyを支配せず，yはxを支配しない．ii)外部支配性（外部安定性）Kに属さない任意の配分は，Kに属する少なくとも1つの配分によって支配される．【定義】選好条件：提携Ｓのすべてのメンバーにとって、配分xが配分yより大きい利得が得られるため、yよりもxを選好する実現可能条件：そ
3、のような配分xを提携Ｓだけで実現可能である(10,20,30)(12,21,33)(11,22,27)P1,P2,P3>>>>>>支配する支配しない3安定集合・3人以上の協力ゲームに関し提案された最初の解．フォン・ノイマン/モルゲンシュテルン解とは支配関係は1人提携と全体提携については成立しないため，2人ゲームの安定集合は配分の集合に一致する．3人以上の任意のゲームにおいて安定集合が空でないとは限らない．（ex.安定集合が空な10人ゲーム（Lucas,1968））4安定集合定和3人ゲームの対称解☆多数決3人ゲーム・コ
4、アが空→シャープレイ値や仁での配分が難しい．提携{1,2}⇒(6,6,0)提携{1,3}⇒(6,0,6)提携{2,3}⇒(0,6,6)集合K={D,E,F}x1x2x3ABCDEFG5安定集合定和3人ゲームの対称解{1,2}⇒(6,6,0){1,3}⇒(6,0,6){2,3}⇒(0,6,6)集合K={D,E,F}x1x2x3ABCDEFGⅰ)内部安定性Kの属する任意の2つの配分は互いに他を支配しない．ⅱ)外部支配性配分D=(d1,d2,d3)=(0,6,6)に不満をもったP1がP2にG=(g1,g2,g3)=(4,8
5、,0)という集合Kに含まれない配分を示して提携{1,2}をつくることを提案する．より，配分Gは配分Dを支配するが，この時，P3は配分Gを支配する配分E=(6,0,6)を示してP1とP2の提携を阻止する．6安定集合定和3人ゲームの対称解{1,2}⇒(6,6,0){1,3}⇒(6,0,6){2,3}⇒(0,6,6)集合K={D,E,F}x1x2x3ABCDEFGⅰ)内部安定性Kの属する任意の2つの配分は互いに他を支配しない．ⅱ)外部支配性配分D=(d1,d2,d3)=(0,6,6)に不満をもったP1がP2にG=(g1,g
6、2,g3)=(4,8,0)という集合Kに含まれない配分を示して提携{1,2}をつくることを提案する．より，配分Gは配分Dを支配するが，この時，P3は配分Gを支配する配分E=(6,0,6)を示してP1とP2の提携を阻止する．Kに属さない任意の点は，Kに属するいずれかの配分に支配されるので，Kは外部支配性を持っている．Kはフォンノイマン・モルゲンシュテルン解である．（対象解・客観解）7安定集合定和3人ゲームの差別解【対象解】提携合理性という行動基準に基づいて行動し，提携形成に成功すれば利得6を得，失敗すれば利得が0になる
7、．【差別解】提携形成をめぐる駆け引きから下りて，自ら中立を宣言し，ある一定の利得で満足する．或いは，あるプレーヤーが他のプレーヤーから差別的立場に立たされて，提携形成から排除され，ある一定の利得に固定されている状態P1に をみたす一定の値cを与え，残りのv(N)－cをP2とP3で分けるとすると，配分の集合D1(c)は以下のように表現できる．8安定集合ABCDEFGHD1(c)D1(c)が内部安定性と外部支配性をみたしていることを証明する．ⅰ)内部安定性9安定集合ⅱ)外部支配性１.a1>cのときa2<
8、b2,a3
