第六章非平稳时间序列模型-1

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1、金融时间序列模型第六章：非平稳时间序列模型金融时间序列模型6.1趋势平稳和单位根过程平稳过程和非平稳过程的特点平稳随机过程的定义：平稳随机过程的特点（1）不同时刻，均值相同；围绕常数的长期均值波动，称为均值回复（MeanReversion）。（2）方差有界并且不随时间变化是常数。在每一时刻，对均值的偏离基本相同，波动程度大致相等。线性平稳ARMA模型，可以表述成下面的表达式：3）长期预测趋于无条件均值，4）预测方差随着预测步长增加，但有界。5）t时刻的扰动带来的影响随着时间的增加逐渐趋于0.预测上该类模型特

2、点：趋势平稳随机过程(TS)Trend-StationaryStochasticProcess许多经济变量的时间序列数据都有随时间增加而增长的趋势，不具有均值回复的特性。如GDP例如：其中Ut是平稳随机过程。该类模型认为趋势是确定性的，称为趋势平稳随机过程。经济变量大部分情况是线性趋势，因此趋势平稳过程常常有下面的定义：其中是白噪声过程，TS特点以模型为例：■均值是时间的函数，方差是常数。■把趋势平稳随机过程去掉趋势项，成为一个平稳随机过程。带随机趋势的非平稳随机过程一，随机游动（randomwalk)Yt

3、=Yt-1+t(1)其中{t}是白噪声过程。●许多金融市场行为类似一个随机游动，比如，今天的股票价格等于昨天的股票价格加上一个随机震荡。迭代上述模型，得到：Yt=y0+t+…+1性质均值为常数：E(Yt)=y0方差趋于无穷Var(Yt)=Var(t+…+1)=t2■自协方差函数自协方差与时刻有关，自相关函数不衰减，样本有限时，样本自相关函数衰减速度慢随机游动Yt=Yt-1+t(1)预测模型(1)在预测原点h的向前一步预测随机游动Yt=Yt-1+t(1)对任意的预测步长l>0,都有故随机游动

4、不是均值回转的可验证向前l步预测误差从而预测的方差随步长的增加趋于无穷不平稳随机过程的特点（1）没有常数的均值函数，图形不表现出均值回复现象。（2）方差不是常数，并且随着时间的增加趋于无穷。（3）自相关函数不衰减，样本有限时，样本自相关函数衰减速度慢。（4）预测的方差随步长的增加趋于无穷。带随机趋势的非平稳随机过程二，带漂移的随机游动Yt=+Yt-1+t通过迭代得到Yt=y0+t+t+…+1因此带常数项的随机游动既有确定趋势又有随机趋势。把随机游动看成一个特殊的AR(1)模型，那么Yt-1的系数是

5、1，这不满足AR(1)模型平稳性的条件。从而，随机游动序列不是弱平稳的，称之为单位根非平稳时间序列。随机游动Yt=Yt-1+t(1)一阶差分为平稳时间序列。带随机趋势的非平稳随机过程单位根过程带随机趋势的非平稳随机过程单位根过程（UnitRootProcess）或差分平稳过程（DifferenceStationary）Yt=+ut其中{ut}是平稳随机过程，称{Yt}是单位根过程，或差分平稳过程。单位根过程又称一阶单整过程，记为I（1），平稳过程记为I（0）。类似，如果差分n-1次不稳，差分n次平稳，

6、则该过程为n阶单整，记为I（n）。一阶差分例子1，随机游动Yt=Yt-1+t是单位根过程是平稳的单位根过程例子AR(1)：如果我们说存在单位根■一阶差分■单位根检验：■如果H0为真，是平稳的，此时是一阶单整的，记为I(1)■如果要差分两次才平稳，则是二阶单整的，记为I(2)例子2：趋势平稳过程表述为ARMA(p,q)过程即如果的根都在单位圆外，则是平稳随机过程。如果的根有一个等于1，其他的都在单位圆外，进行一次差分：从而差分序列平稳，所以例子2中的序列是单位根过程。对非平稳序列差分，只要进行一次或多次差分

7、就可以转化为平稳序列。差分的次数称为阶数。■单位根过程例子：令是一个ARMA(p,q)过程。过程被称为自回归-求和-滑动平均过程，记为ARIMA(p,d,q).d是差分的次数，d通常小于3.求和的含义指ARIMA过程可以表示成ARMA过程的和例3一个ARIMA(1,1,1)过程如下：令因此是如下ARMA过程：假设则即一个ARMA过程求和可以得到一个ARIMA过程。易知ARIMA(1,1,1)过程是单位根过程两种非平稳随机过程的区别1.趋势平稳随机过程只有确定趋势；而单位根过程具有随机趋势，有时也有确定趋势。

8、2.趋势平稳随机过程去掉趋势项平稳，单位根过程差分后平稳。3.趋势平稳随机过程方差是常数，均值是时间的函数；单位根过程方差是时间的函数。4，趋势平稳过程对冲击的反应是暂时的，二单位根过程对冲击的反应是长久的。5，趋势平稳随机过程长期预测与初始值无关，预测方差有界；单位根过程长期预测与初始值有关，并且预测均方差趋于无穷。单位根检验－DF,ADF，PP,KPSS检验单位根检验大部分以非平稳性为零假设。其中KPSS以平