用mathematica研究自然对数的底数e

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1、用Mathematica研究自然对数的底数e作者：陈龙摘要：是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。与被认为是数学中最重要的两个超越数，、及（为虚数单位）三者间存在的关系。本文利用Mathematica软件研究了自然对数的底数，介绍了的一些相关知识、与自然对数的关系以及的值的计算方法等。关键词：Mathematica，，自然对数一、引言远在公元前，圆周率就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，的近似值一直取为3.14或。通过许多数学家的努力，的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率

2、。由于电脑速度等功能不断改进，今后的近似值位数会越来越多。另外一个奇妙有趣的无理数是，它取自瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，应称为“自然对数的底数”。与被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendentalnumber，若一数为之根，其中为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraicnumber），否则称为超越数）。、及（为虚数单位）三者间存在

3、的关系。本文主要介绍的一些知识以及用Mathematica软件来计算。二、欧拉数考虑数列，==，，其中=，，，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。定理1.设数列为单调且有界，则当时，（为一有限数）。首先，对=，显然为单调递增数列。其次，=2，=，而时，=1+1+1+1+=1+3，即数列以3为一上界。故有定理1知，数列收敛至一实数，由于此极限值与圆周率-9-一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以来表示此数。

4、后来符号就被广为采用，后人并称为欧拉数（Euler’snumber）以纪念他。由于为时之极限，故可表示为（1）=。以下说明如何以来求之近似值，事实上收敛至的速度极快。这里借助一几何级数，对任意，=+++=+故对，（2）+。若令，则上式为（3）+。即对，与之差最多为。由于随着增长速度极快，故为的一个很好的估计值。例如，若=10，则与之差小于，因此经由计算，得到=2.718281…。N[a[10],50]2.718281801146384479717813051146384479717813051146

5、4N[E,50]2.7182818284590452353602874713526624977572470937000N[a[10]-E,50]True-9-当然若取大一些便可再更精确些，如=2.71828182845904523536028…。这是欧拉用笔算得到的之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以命名之，它的值为2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对的估计式。设=为一有理数，其中，为

6、二互质正整数。易见，此因介于2与3之间，故不可能为整数。现由（3）式知+。将上式每项各乘以得++。而由之定义知，为一整数，如此则得整数介于两相邻整数及+之间的矛盾结果。故不是有理数。下面我们来看另一种常见的引进的方法。考虑数列=，。则由二项式定理（BinomialTheorem）可得===1+1+=3。又由上面第三个等号的右侧可看出，的每一项对递增，且比多一正的项，故为一单调递增且有界数列必有极限。故得证存在。接着证明。对，仍由前述第三个等号之右侧可得。-9-若先固定，而令，则上式左侧趋近于，而右侧

7、趋近于。即此时有，而又有，因此，。令，由夹逼定理，便得。也就是我们得到下述重要的极限结果：（4）。定理2.（夹逼定理）若三个数列，，从某项开始成立，且，则。我们发现这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出。三、与自然对数中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作。但科学上常用的对数却以一个无理数=2.71828…为底，称为自然对数，记作或。早在公元17世纪纳皮尔（J.Napier）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。他希望将每个正实数表示为

8、某个给定的正实数的幂：=。如果=，=，则=，，的乘法变成了，的加法。根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即真数）与指数（即对数）之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低接近1。比如取=1.001。幂（真数）N1.0011.0020011.003003…1.0090360841.010045121.020191145…指数（对数）n123…91020…不难看出,用接近于1的=1.001为底编制对数表要比以10为底优越。同时为了提高精确度，还可以