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1、双曲线的简单几何性质湖南省临湘市一中李君英研究双曲线的几何性质可以从哪些方面入手?曲线性质方程图形范围对称性顶点离心率对称轴:x轴,y轴对称中心:原点对称轴:x轴,y轴对称中心:原点四个顶点(±a,0),(0,±b)两个顶点(a,0),(-a,0)01椭圆双曲线F2F1双曲线的离心率是否具有明显的几何意义?A2A1B2B1F1F2A2B2A1B1F1F2abc根据以上四项性质,能较准确地画出双曲线的图形吗?练习:画出双曲线的草图双曲线的开口大小有没有限制?向远处伸展有没有约束范围?当x→∞时,方程近似
2、变为,即双曲线上的点无限接近直线证明:双曲线的渐近线方程为这一部分的方程可写为设M(x,y)是它上面的点，N(x,Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.NMQ双曲线离心率的几何意义说明:当e的值从接近于1逐渐增大时,的值就从接近0逐渐增大,渐近线的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔F1F2A1A2B2B1画双曲线的草图做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲
3、线的对称性画出完整的双曲线.练习:画出双曲线x2-y2=4的草图渐近线方程为：y=±x等轴双曲线的性质:等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.即a=b渐近线互相垂直y=xy=-x等轴双曲线等轴双曲线曲线性质方程图形范围对称性顶点离心率对称轴:x轴,y轴对称中心:原点对称轴:x轴,y轴对称中心:原点四个顶点(±a,0),(0,±b)两个顶点(a,0),(-a,0)01e越大,张口开阔e越小,张口扁狭渐近线椭圆双曲线A1A2B2B1无有两条A2A1B2B1讨论双曲线与的几何性质标准方程图形范围
4、对称性顶点焦点离心率渐近线关于x轴,y轴,原点对称如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程方法一(几何法)矩形对角线所在直线方法二把双曲线标准方程中等号右边的1改为0,就得到了双曲线的渐近线方程反过来,能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢?这样的双曲线是否是唯一的?探求:以为渐近线的双曲线有哪些??双曲线的渐近线方程为观察它们形式上的联系已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程为当λ>0时,当λ<0时,当λ=0时,,这里λ是待定系数共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这
5、样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在x轴上双曲线焦点在y轴上即为双曲线的渐近线方程1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为-1例1求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点P(1,3)且离心率为的双曲线方程1.已知双曲线的实轴的一个端点为A1,虚轴的一个端点为B1,且则b等于________2.双曲线的离心率为2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长,短两段的比是______________________3
6、:13.已知双曲线的离心率则m的取值范围是__________(-12,0)4.双曲线与椭圆有相同的焦点,一条渐近线为y=x,求双曲线的方程.3练习5.双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为e1和e2，则e1、e2应满足的关系_________________________6.双曲线的离心率为2,则两渐近线的夹角为__________60°例2已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.注：称为与双曲线共渐近线的双曲线系方程（λ是参数）课堂小结双曲线的四个基本量a,b,c,e(是双曲线本身所固有的量,不因坐标系的选择而改变)中有两个关
7、系因此确定双曲线方程需要两个独立的条件根据以上四项性质,能较准确地画出双曲线的图形吗?练习:画出双曲线的草图双曲线的开口大小有没有限制?向远处伸展有没有约束范围?当x→∞时,方程近似变为,即双曲线上的点无限接近直线下面我们来看一般情况,对于双曲线而恰为直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线所在直线,说明双曲线处于两条对角线所在直线的包围之中下面我们来论证双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与这两条对角线逐渐靠拢,即到这两条对角线的距离趋向于零,也就是说这两条对角线是双曲线的渐近线A1A2B2B1NMQ
