2_7矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

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1、一、矩阵的秩的概念二、初等变换求矩阵的秩三、向量组方面的一些重要方法下页第7节矩阵的秩及向量组的极大无关组求法①向量组的秩的计算方法②极大无关组的确定方法③用极大无关组表示其它向量的方法注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.定义1设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列式，称为A的k阶子式.如矩阵第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为三阶子式共有4个下页7.1矩阵的秩的概念定义2若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子

2、式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).规定零矩阵的秩为零.易见：（1）若A是m╳n矩阵，则r(A)≤min{m,n}.（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零，则r(A)≥r；若所有r+1阶子式全等于零，则r(A)≤r.（3）r(A)=r(AT).（4）r(kA)=r(A)，k≠0.（5）对n阶方阵A，若

3、A

4、≠0，则r(A)=n,称A为满秩矩阵;若

5、A

6、=0，则r(A)

7、下页定理1初等变换不改变矩阵的秩.定义3满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵：（1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行称为零行，否则称为非零行)；（2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加.如下页7.2初等变换求矩阵的秩定理2任何一个秩为r的矩阵A=(aij)m╳n都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r.即结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.下页例2.求矩阵的秩.下页所以，r(A)=3.解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵下页例3.设方阵

8、判断A是否可逆.解法1:因为,所以，A满秩(可逆).解法2:用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.下页定义4矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.即下页7.3向量组方面的一些重要方法行向量组a1，a2，，am的秩，称为矩阵A的行秩.列向量组b1，b2，，bm的秩，称为矩阵A的列秩.定理3矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.例4.求下列向量组a１=(1,2,3,4)，a2=(2,3,4,5)，a3=(3,4,5,6)的秩.解：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等

9、变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．求向量组的秩的方法问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？下页①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．定理4矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.线性关系:矩阵A矩阵A1矩阵A2求向量组的极大线性无关组的方法下页①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵

10、B；③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组．由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：下页矩阵A2矩阵A3矩阵B例5.求下列向量组的一个极大无关组，其中：解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵矩阵B已是阶梯形矩阵,B的每阶梯首列所在的列是1，2，4列，所以A的第1，2，4列就是A的列向量组的极大线性无关组，即a１,a２,a４是向量组的一个极大线性无关组.下页行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式)是指它为阶梯形矩阵,且它的每一行的第一个非零元素均为1,第一个非零元素所在的列其余元素均为0．例如,

11、利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形矩阵C.用极大线性无关组表示其它向量的方法下页即列向量组的一个极大无关组化为了单位向量组.用极大线性无关组表示其它向量的方法为：①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；④根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量．下页例6.求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量:解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为行最简形:根据行最简形矩阵C可知a１,a２,a４是向量组的一

12、个极大无关组，且a3=2a1-a２+0a４,a5=a1+a２+a４.下页3560假设第5列为，该如何表示？一、填空题1．若向量组a１，a２，…，am，