极坐标与球面坐标计算三重积分

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1、一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分§9．5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r<，0q2，

2、,q)M(x,y,z)xyq三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．rr0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，qq0，zz0的意义：xyzOqq0zz0r0q0z0设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r<，0q2，

3、,y,z)xyqx2y242解闭区域W可表示为：r2z4，0r2，0q2．于是zx2y2或zr24xyzO例1二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标．设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q相对应，其中r为原点O与点M间的距离，j为有向线段与z轴正向所夹的角，q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角．这里r、j、q的变化范围为0r<，0j<，0q2．xyzOzPM(x,y,z)xyqrj坐标面rr0，jj0，qq0的意义：x

4、yzOrqj点的直角坐标与球面坐标的关系：球面坐标系中的体积元素：dvr2sinjdrdjdq．柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x,y,z)xyqrj例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．xyzOa2a例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．解该立体所占区域W可表示为：0r2acosj，0ja，0q2．于是所求立体的体积为xyzOa2arj．例3求均匀半球体的重心．解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a．axyzOqjr显然，重心在z

5、轴上，故`x`y0．解取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，例4求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量．则球体所占空间闭区域W可用不等式x2y2z2a2来表示．Iz所求转动惯量为xyzOa