高等数学习题详解-第1章 函数

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1、习题1-11.求下列函数的定义域：(1);(2)；(3)；　(4).解：⑴要使式子有意义，x必须满足，由此解得，因此函数的定义域是。⑵要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是。⑶要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是。⑷要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是2.判断下列各组函数是否相同?(1)，；(2)，,(3)，；(4),．解：(1)因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。(2)因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。(3)两个函数的定义域相同，

2、对应法则也相同，所以两个函数相同。(4)因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。3.若，求，.解：，4.若，求,.解：令.则,从而，所以，。5.设，求，，。解：，，。6.设，求f（-1）,f（0）,f（1）,f（x-1）.解：，，7．作出下列函数的图形：(1)；　（2）　；(3)8.某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分公里为元.求运价m和里程s之间的函数关系.解：由题意可得9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0

3、.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解：由题意可得习题1-21.指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1)；(2)；　（3）.(4)解：(1)的定义域是，，是奇函数。(2)的定义域是，，是偶函数。⑶的定义域是，，且，既不是奇函数也不是偶函数。(4)的定义域是，，是奇函数。2.设下列函数的定义域均为,证明：(1)两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；(2)两个奇函数的积是偶函数，

4、一奇一偶的乘积为奇函数；(3)任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.证明：(1)设、是奇函数，令，、是奇函数，即，，因此两个奇函数的和仍为奇函数。设、是偶函数，令，、是偶函数，即，，因此两个偶函数的和仍为偶函数。(2)设、是奇函数，令，、是奇函数，即，，因此两个奇函数的积为偶函数。设是奇函数，是偶函数，令，是奇函数，是偶函数，即，，因此一奇一偶的乘积为奇函数。(3)设是任一函数，令，，，即是偶函数，即是奇函数，又，任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。3.证明函数在内是单调增加的函数..证明：在内任取两点任取两点且则

5、因为是内任意两点,所以又因为故，即所以在内是单调增加的.4.设函数是周期的周期函数，试求函数的周期.解：因为是周期的周期函数，所以，即，因此的周期。5．已知函数的周期为2，并且试在上作出函数的图形.6．验证函数在开区间内无界，在开区间内有界.解：因为对任意，存在，使得，所以在开区间内无界。因为，所以，即，因此在开区间内有界。习题1-31.求下列函数的反函数及其定义域：(1)；(2)；（3）；　(4)．解：(1)由解得，故所求反函数为，反函数的定义域为。(2)由解得，故所求反函数为，反函数的定义域为。（3）由解得，可得，故所求反函数为

6、，反函数的定义域为。(4)由解得，可得，故所求反函数为，反函数的定义域为。2.证明：和互为反函数.证明：设，由此式可得，故的反函数是，因此和互为反函数。3.已知符号函数求的反函数.解：由题意可得由此式可解得故的反函数为。4.指出下列复合函数的复合过程?(1)；(2)；(3)．解：(1)由，复合而成。(2)由复合而成。(3)由复合而成。5.设,求。解：。6.设函数求的表达式.解：=。7.设，求解：，。习题1-41.求下列函数的定义域：(1)；　　　　　　（2）;（3）；（4）解：(1)要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。(2)

7、要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。(3)要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。(4)要使表达式有意义，只须，解得且，故的定义域是。2.将下列函数分解成简单函数的复合.(1)(2)(3)(4)解：(1)由，，复合而成。(2)由复合而成。(3)由复合而成。(4)由复合而成。习题1-51.现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问:(1)按单利计算,3年末的本利加为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?解：(1)按单利计算,3年末的本利加为元。(2)按复

8、利计算,3年末的本利和为元。(3)设需n年能使本利和超过初始本金的一倍，则，解得，因此需11年才能使本利和超过初始本金的一倍。2.某种商品的供给函数和需求函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解：令，即，解得，因此该商品的市