第三章 常见曲面球面和旋转面

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1、第三章常见曲面§3.1球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点，半径为的球面方程。根据以下充分必要条件在球面上，得，（3.1）展开得（3.2）其中，。(3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成：当时，它表示一个球心在，半径为的球面；当时，它表示一个点；当时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。1.2球面的参数方程，点的球面坐标如果球心在原点，半径为，在球面上任取一点,从作面的垂线，垂足为N，连。设x轴到的角度为，到的角度为(M在

2、面上方时，为正，反之为负)，则有（3.3）(3.3)称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数，其中称为经度，称为纬度。球面上的每一个点(除去它与轴的交点)对应唯一的对实数，因此称为球面上点的曲纹坐标。因为空间中任一点必在以原点为球心，以为半径的球面上，而球面上点（除去它与轴的交点外）又由它的曲纹坐标唯一确定，因此，除去z轴外，空间中的点由有序三元实数组唯一确定。我们把称为空间中点M的球面坐标（或空间极坐标），其中，。点的球面坐标与的直角坐标的关系为（3.4）1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）

3、看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程：（3.5）其中，对于的每一对值，由（3.5）确定的点在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对来确定，因此称为曲面上的曲纹坐标。空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：（3.6）其中，对于的每一个值，由（3.6）确定的点在此曲线上，而此曲线上任一点的坐标都可由t的某个值通过（3.6）表示。例如，

4、球面平面相交所得的圆的普通方程为：而这个圆的参数方程是：1.4旋转面球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。一、旋转面的定义定义3.1一条曲线上每个点绕旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过的半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。已知轴过店，方向向量为，母线的方程为：二、旋转面的方程的求法点在旋转面上的充分必要条件是在经过母线上某一点的纬圆上（如图3.2）。即，有母线上的一点使得到轴的距离相等（或到轴上一点的距离相等）；并且。因此，有（3.7）从这个方程中消去参数就得到的

5、方程，它就是所求旋转面的方程。例1：求直线绕直线旋转所得的旋转面的方程。解：设是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过的纬圆方程为（1）由于在母线上，所以又有，即，（2）由（1），（2）消去得所求旋转面方程为。三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程现在设旋转轴为轴，母线在平面上，其方程为：则点在旋转面上的充分必要条件是：消去参数得。（3.8）（3.8）就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线在平面上的方程中改成，不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。四、应用举例例3

6、.1母线绕z轴旋转所得旋转面方程为，这个曲面称为旋转抛物面（如图3.4）。例3.2母线绕轴旋转所得曲面方程为。这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）。绕轴旋转所得曲面方程为这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。例3.3圆绕轴旋所得曲面为，即，这个曲面称为环面（如图3.6）。例3.4设是两条异面直线，它们不垂直，求绕旋转所得曲面的方程。解设和的距离为，以和的公垂线为轴，且命名与轴的交点，建立一个右手直角坐标系。设的方向向量为因为与轴垂直，所以，得。因为异面，所以不平行于，于是。因此可设的坐标为。因为与不垂直，所以于是。因此，的参数方程为点M在旋转面

7、上的充分必要条件是消去参数得，即，这是一个旋转单叶双曲面。作业习题3.1：2（4），4，6，9（3，6，9），11(1,3)。§2柱面和锥面2.1柱面方程的建立定义3.2一条直线沿着一条空间曲线平行移动时所形成的曲面成为柱面.成为母线，称为准线。按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除去平面外）与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。柱面的方程的建立。设一个柱面的母线方向为，准线的方程为下面我们根据点在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。点在此柱面上的充分必要条件是在某一条母线上，即，有准线上一点使得在过且方向为

8、的直线上。因此，有消去，得再消去参数，得到的一个方程，就是所求柱面的方程。例1：柱面的准线方程