数学解题基本方法之一 配方法

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1、数学解题的基本方法之一配方法陕西洋县中学（723300）刘大鸣数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本

2、方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等.本系列专题通过概念与规律、基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.【概念与规律】配方法是对数

3、学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者在三角变换和圆锥问题的简化运算等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)

4、－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；解析几何中的韦达定理和弦长公式；……等等.【基础题型再现】1若实数a,b,c满足则的最大值为2方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____A.1C.k∈RD.k＝或k＝13已知sinα＋cos

5、α＝1，则sinα＋cosα的值为______A.1B.－1C.1或－1D.04函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____A.（－∞,）B.[,+∞]C.(－,)D.[,3]5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____6双曲线的两个焦点F1，F2，点P在双曲线上，若，求P到x轴的距离.【思维启迪】1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，2：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。3：已知等式配方凑成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sin

6、αcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解,选C。4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，选D。5根与系数的关系中配凑整体思维,，解得3－.6构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入.设点P到轴的距离为L，，则有，，配方用双曲线定义，整体代入解得L.【经典问题回放】例1Rt△ABC中，C=900，AC=8，BC=6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点Ｐ到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值BAC·O1p【思维展示】如何解决最值？利用坐标法，建立函数关系，只有用配方法才能化归一次函数区间上的最值解决。如图建系，则Ａ（８,0），Ｂ（

7、0，６），Ｃ（0，0）内切圆半径r===2,内切圆圆心（２，２）其内切圆方程（x-22+(y-2)2=4,设P(x,y)是圆上动点,对目标函数配方化简，则S==(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x-76=3×4-4x+76=88-4x在[0,4]上的最值，由单调性得Smax=88,Smin=72例2求函数的最大值.【思维展示】如何沟通变量之间的关系选主元？只有配方才有，沟通变量的关系，换元将