平面向量典型例题

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1、专业文档平面向量经典例题:1.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ等于(  )A.-2         B.-C.-1D.-[答案] C[解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa+b与c共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.2.(文)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=(  )A.-1B.-C.-3D.1[答案] C[解析] a+2b=(,1)+(0,2)=(,3),∵a+2b与c垂直,∴(a

2、+2b)·c=k+3=0,∴k=-3.(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a-λb互相垂直,则实数λ的值为(  )A.-B.-C.D.[答案] C[解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),∵a+b与a-λb垂直,∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=.3.设非零向量a、b、c满足

3、a

4、=

5、b

6、=

7、c

8、,a+b=c,则向量a、b间的夹角为(  )A.150°B.120°C.60°D.30°[答案] B[解析] 如图,在▱ABCD中,∵

9、a

10、=

11、

12、b

13、=

14、c

15、,c=a+b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.(理)向量a,b满足

16、a

17、=1,

18、a-b

19、=,a与b的夹角为60°,则

20、b

21、=(  )A.B.C.D.WORD资料可编辑专业文档[答案] A[解析] ∵

22、a-b

23、=,∴

24、a

25、2+

26、b

27、2-2a·b=,∵

28、a

29、=1,〈a,b〉=60°,设

30、b

31、=x,则1+x2-x=,∵x>0,∴x=.1.若·+2=0,则△ABC必定是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形[答案] B[解析] ·+2=·(+)=·

32、=0,∴⊥,∴AB⊥AC,∴△ABC为直角三角形.2.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则用a,b表示c为(  )A.-a+3bB.a-3bC.3a-bD.-3a+b[答案] B[解析] 设c=λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),∴,∴,∴c=a-3b,故选B.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(  )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b[答案] B[解析] ∵E为OD的中点,∴=3,∵DF∥AB,∴=,∴

33、

34、DF

35、=

36、AB

37、,∴

38、CF

39、=

40、AB

41、=

42、CD

43、,∴=+=+=a+(-)=a+(b-a)=a+b.3.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为(  )A.19B.14C.-18D.-19[答案] DWORD资料可编辑专业文档[解析] 据已知得cosB==,故·=

44、

45、×

46、

47、×(-cosB)=7×5×=-19.1.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为(  )A.12B.2C.3D.6[答案] D[解析] a·b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9x+3y=3

48、2x+3y≥2=6,等号在x=,y=1时成立.2.若A,B,C是直线l上不同的三个点,若O不在l上,存在实数x使得x2+x+=0,实数x为(  )A.-1B.0C.D.[答案] A[解析] x2+x+-=0,∴x2+(x-1)+=0,由向量共线的充要条件及A、B、C共线知,1-x-x2=1,∴x=0或-1,当x=0时,=0,与条件矛盾,∴x=-1.3.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则·(+)(  )A.最大值为8B.最小值为2C.是定值6D.与P的位置有关[答案] C[解析] 以BC的中点O为原点,直线

49、BC为x轴建立如图坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,),+=(-1,-)+(1,-)=(0,-2),设P(x,0),-1≤x≤1,则=(x,-),∴·(+)=(x,-)·(0,-2)=6,故选C.(理)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A=120°,·=-1,则

50、

51、的最小值是(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵∠A=120°,·=-1,∴

52、

53、·

54、

55、·cos120°=-1,WORD资料可编辑专业文档∴

56、

57、·

58、

59、=2,∴

60、

61、2+

62、

63、2≥2

64、

65、·

66、

67、=4,∵D为BC边的中点,∴=(+),∴

68、

69、2=(

70、

71、

72、2+

73、

74、2+2·)=(

75、

76、2+

77、

78、2-2)≥(4-2)=,∴

79、

80、≥.1.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中=,=,=λ,则λ的值为(  )A.B.C.D.[答案] A[解析] 如图,取CD的三等分点M、N,BC的中点Q,则EF∥DG∥BM∥NQ

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