常微分方程期末复习

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1、1.求下列方程的通解。.解:方程可化为    令,得    由一阶线性方程的求解公式,得    所以原方程为:=2.求下列方程的通解。.解:设,则有,从而 ,故方程的解为,另外也是方程的解.3.求方程通过的第三次近似解.解:            4.求解下列常系数线性方程。解:对应的特征方程为:,.解得    所以方程的通解为:5.求解下列常系数线性方程。解:齐线性方程的特征方程为,解得,故齐线性方程的基本解组为:,因为是特征根,所以原方程有形如,代入原方程得,,所以,所以原方程的通解为6.试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:解:解得 所以奇点为

2、( 经变换,    方程组化为 因为又 所以,故奇点为稳定焦点,所对应的零解为渐近稳定的。7.设为方程(A为常数矩阵)的标准基解矩阵(即,证明其中为某一值证明:为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵,所以也是方程的基解矩阵,且也是方程 的基解矩阵,.且都满足初始条件,所以即命题得证。8.求方程的通解解:积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程:两边积分得:得:因此方程的通解为:9.求方程的通解解:令则得:那么.因此方程的通解为:10.求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计解:,,解的存在区间为即令又误差估计为:11.求方程的通解解:.是方程的特征值,设得:则得:.因此

3、方程的通解为:12.试求方程组的解解:得取得取则基解矩阵因此方程的通解为:13.试求线性方程组的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解:(1,3)是奇点令,那么由可得:因此(1,3)是稳定中心14.证明题:如果是满足初始条件的解,那么证明:由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以即命题得证。15.求下列方程的通解解:因为,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子,两边同乘得所以解为即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解:线性方程的特征方程故特征根是特征单根,原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根,原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为17.若试求方程组的解并求expAt解:解得此时k=1由

4、公式expAt=得18.求下列方程的通解解:方程可化为令则有(*)(*)两边对y求导:即由得即将y代入(*)即方程的含参数形式的通解为:p为参数又由得代入(*)得:也是方程的解19.求方程经过(0,0)的第三次近似解解:20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解:由解得奇点(3,-2)令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解(0,0)由得故(3,-2)为稳定焦点。21.证明题:阶齐线性方程一定存在个线性无关解证明:由解的存在唯一性定理知:n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解:考虑从而是线性无关的。22.求解方程:=解:(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+x

5、dy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以23.解方程:(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解:,令z=x+y则所以–z+3ln

6、z+1

7、=x+,ln=x+z+.即24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解解:设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续,因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,显然,是通过点(0,0)的一个解;又由解得,

8、y

9、=所以,通过点(0,0)的一切解为及

10、y

11、=25.求解常系数线性方程:解:(1)齐次方程的通解为x=(2)不是特征根,故取代入方程比较系数得A=,B=-于是通

12、解为x=+26.试求方程组的一个基解矩阵,并计算解:det()=所以,设对应的特征向量为由取所以,=27.试讨论方程组(1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0。解:因为方程组(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件,故奇点为原点(0,0)又由det(A-E)=得所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型:a,c为实数28.试证:如果满足初始条件的解,那么证明:设的形式为=(1)(C为待定的常向量)则由初始条件得=又=所以,C==代入(1)得=即命题得证。29.求解方程解:因为  又因为  所以方程有积分因子:u(x)=方程两边同乘以得:[也即方程的解为 .30.求解方程解:令,,则  即

13、  从而  又    =  故原方程的通解为     t为参数31.求解方程解:齐线性方程的特征方程为  故齐线性方程的一个基本解组为,,  因为不是特征方程的特征根  所以原方有形如=的特解  将=代入原方程,比较t的同次幂系数得:    故有解之得:,  所以原方程的解为:   32.求方程经过(0,0)的第三次近似解.解:  .           =33.试求:的基解矩阵解:记A=,又得,

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