图论课件--特殊平面图与平面图的对偶图

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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、一些特殊平面图(二)、平面图的对偶图特殊平面图与平面图的对偶图1、极大平面图及其性质2、极大外平面图及其性质21、极大平面图及其性质(一)、一些特殊平面图对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边，当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图。这样，就启发我们研究平面图的极图问题。定义1设G是简单可平面图，如果G是Ki(1≦i≦4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称G是极大可平面图。极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。3注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。引理设G是极大平面

2、图，则G必然连通；若G的阶数大于等于3，则G无割边。极大平面图非极大平面图极大平面图(1)先证明G连通。若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两个连通分支。4把G1画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v.连接u与v得到一个新平面图G*。但这与G是极大平面图相矛盾。(2)当G的阶数n≥3时，我们证明G中没有割边。若不然，设G中有割边e=uv，则G-uv不连通，恰有两个连通分支G1与G2。设u在G1中，而v在G2中。由于n≥3,所以，至少有一个分支包含两个以上的顶点。设G2至少含有两个顶点。又设G1中含有点u的面是f,将G2画在f内。由于

3、G是单图，所以，在G2的外部面上存在不等于点v的点t。现在，在G中连接点u与t得新平面图G*,它比G多一条边。这与G的极大性相矛盾。5下面证明极大平面图的一个重要性质。定理1设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特征”，即每个面的边界是三角形。证明：“必要性”由引理知，G是单图、G无割边且G的每个面的次数至少是3。假设G中某个面f的次数大于等于4。记f的边界是v1v2v3v4…vk。如下图所示。6如果v1与v3不邻接，则连接v1v3，没有破坏G的平面性，这与G是极大平面

4、图矛盾。所以v1v3必须邻接，但必须在f外连线；同理v2与v4也必须在f外连线。但边v1v3与边v2v4在f外交叉，与G是平面图矛盾！所以，G的每个面次数一定是3.定理的充分性是显然的。v1v2v3v4v5vkf7推论：设G是n个点，m条边和ф个面的极大平面图，且n≥3.则：(1)m=3n-6;(2)ф=2n-4.证明：因为G是极大平面图，所以，每个面的次数为3.由次数公式：由欧拉公式：所以得：8所以得：又所以：注：顶点数相同的极大平面图并不唯一。例如：正20面体非正20面体9还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个数和结构问题。2、极大外平面图及其性质

5、与极大平面图相对应的图是极小平面图。定义2若一个可平面图G存在一种平面嵌入，使得其所有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图。外可平面图外平面图1外平面图210注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可以说明。下面研究极大外平面图的性质。定义3设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大外平面图。极大外平面图11引理设G是一个连通简单外可平面图，则在G中有一个度数

6、至多是2的顶点。证明我们对G的阶数n作数学归纳。当n≦3时，引理结论显然成立；当n=4时，由于K4不能是外可平面图，所以，四阶的外可平面图至少有一个顶点度数不超过2。事实上，更强一点的结论是：当n=4时，有两个不邻接顶点，其度数不超过2.设当G是一个阶数小于n的简单连通外可平面图时，存在两个不邻接顶点，其度数不超过2。考虑G是一个阶数等于n的简单连通外可平面图。情形1，如果G有割点x12由归纳假设，G-x的两个不同分支中分别有一个异于x的顶点z与z1,使得度数不超过2。这说明G中有两个不邻接顶点,使得度数都不超过2；x情形2若G是2连通的。考虑G的任意一种外平

7、面嵌入。则G的外部面边界一定是圈。否则，容易推出G有割点。设C是G的外平面嵌入的外部面边界。若除C外，图中没有其它的边，则G=C,显然G中有不邻接点，度数不超过2；13若除C外，图中至少有边xy。如下图所示：xy则在C上的两条xy路上的点在G中的两个导出子图H1与H2是外平面图。有归纳假设，在H1,H2中分别存在异于x,y的点z与z1,使得，它们的度数不超过2.xyzz114定理2设G是一个有n(n≥3)个点，且所有点均在外部面上的极大外平面图，则G有n-2个内部面。证明：对G的阶数作数学归纳。当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面；设当n=k时，结论成立

8、。当n=k+1时，首先，注意到G必有一