变式问题教学的粗浅思考01

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1、变式问题教学的粗浅思考01三牧中学数学组林山杰（2016-10-7）“一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法．对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养．本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考．图1-1主题1：关于双角平分线的模型．问题1-1：已知：如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BOC=90°+(1/2)∠BAC这个问题需要两个知识储备，一个是三角形内角和180°

2、，另一个是角平分线的定义．是非常常见的一个几何问题．这个问题可以有哪些变式呢？变式方法1，往特殊的状态以及简单的方向变式，加强条件．问题1-2：已知：如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求：∠BOC的度数．问题1-3：已知：如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠BAC=60°，求：∠BOC的度数．从这两个特殊值入手，有助于学生过渡到一般情况，也就是问题1-1．变式方法2，往改变图形的位置的方向变式，改变特征条件的位置．图1-2问题1-4：已知：如图1-2，在△ABC中，AO、BO分别平分∠BA

3、C、∠ABC，求证：∠BOA－(1/2)∠BCA的值是定值．问题1-5：已知：如图1-2，在△ABC中，AO、CO分别平分∠BAC、∠ACB，求：∠COA－(1/2)∠ABC的值．这两个问题还改变了问题设置的提问方式．变式方法3，往逆命题的方向变式，对调原题的条件与结论的位置．问题1-6：已知：如图1-1，在△ABC中，BO平分∠ABC，∠BOC=90°+(1/2)∠BAC求证：CO平分∠ACB变式方法4，运用类比与对称思维变式，改变内角平分线的条件为外角平分线．图1-3问题1-7：已知：如图1-3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，求：∠BPC：∠BAC的值．图1-4问

4、题1-8：已知：如图1-4，在△ABC中，BQ平分∠DBC，CQ平分∠BCF，求：∠BQC与∠BAC的数量关系这两个问题，最好需要增加一个知识储备：三角形的外角等于不相邻的两个内角和．使用这个定理证明的思路更快．如果把这两个变式问题的图形和原来的图形画在一起，更容易发现这些问题的关联．图1-5如图1-5，CO，CP分别平分一对邻补角∠ACB，∠ACE，易证∠OCP=90°．同理∠PBQ=90°．CP，CQ分别平分一对对顶角∠ECB，∠ACE，易证P、C、Q三点共线．∠BOC是Rt△OCP的外角，所以∠BOC=90°+∠BPC∠BQC是Rt△BQP的内角，所以∠BQC=90°-∠BPC因此

5、这个题组的探究有助于学生发现数学知识的重要关联,而不是孤立的学习数学知识与数学问题．变式方法5，往改变研究的着眼点入手，从研究角的数量问题，研究三角平分线共点．图1-6问题1-9：已知：如图1-2，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，求证：AO平分∠BAC．问题1-10：已知：如图1-6，在△ABC中，BQ、CQ分别平分∠DBC，∠FCB，求证：AQ平分∠BAC．图1-7问题1-11：已知：如图1-7，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC，∠ACE，求证：AP平分∠GAC．这三个问题需要新增知识储备：角平分线的性质定理（角的平分线上的点到角两边的距离相等）与判定定理（

6、角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上）变式方法5-2，还可以研究面积问题．问题1-12：已知：如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若△ABC的周长为20，O到BC的距离为4，求：△ABC的面积．问题1-13：已知：如图1-6，在△ABC中，在△ABC中，BQ、CQ分别平分∠DBC，∠FCB，若△ABC的周长为20，△ABC的面积为30，Q到BC的距离为4，求：BC的长．变式方法6，增加图形条件，加入其它模型结构，研究一些周长问题或者线段的数量关系。图1-8问题1-14：已知：如图1-8，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，过O的直线N

7、M∥BC，M，N分别在边AB，AC上，求证：△ABC与△AMN的周长之差=BC．问题1-15：条件同问题1-14，求证：△AMN与△ABC的周长之比+△BOC与△ABC的面积之比=1．变式方法7，重复使用模型特征构造新问题，甚至构造一般化的n等分线模型．图1-9问题1-15：已知：如图1-9，在△ABC中，BK、BJ三等分∠ABC，CK、CJ三等分∠ACB，若∠BAC=80°，求：∠BKC，∠BKJ的度数．图1-10问题1-16：已