算法案例1-辗转相除法

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1、1.3算法案例第一课时问题提出1.研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？2.“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究.辗转相除法与更相减损术复习引入1、MOD表示什么意思？aMODbab(ab是正整数)a=b*q+r(0<=r

2、到8251=6105×1+2146那么8251和6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？思考:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=148×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+1483

3、33=148×2+37148=37×4+0显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数辗转相除法（欧几里得算法）例：用辗转相除法求225和135的最大公约数思考：能不能把辗转相除法设计成算法呢？关键步骤是什么逻辑结构？8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步

4、，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.思考:该程序框图和的程序如何表述？INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m否开始结束知识探究（二）:更相减损术思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，二、更相减损术可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减

5、多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、《九章算术》中的更相减损术：（2）、现代数学中的更相减损术：1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数练习：思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。2、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个

6、数的最大公约数的最大公约数即为所求。比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。小结思考题1、用当型循环结构写出算法；2、试写出更相减损术的算法程序；3、试写出求两个正整数m、n的最小公倍数的程序。评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在

7、多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.