4 抽象及概括

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1、§4抽象与概括　　一、什么是抽象与概括　　通过直观获得的感性认识，往往是比较粗糙和肤浅的，要利用它来进行理性思维，还必须对它进行进一步的加工、提炼，形成概念，得到新的知识．这种过程就是抽象概括的过程．抽象概括的过程，实际上就是把感性认识上升到理性认识的过程．　　所谓抽象，就是把所研究的事物的本质属性抽出来加以考察的方法．从更广泛的意义上讲，就是从某种角度去看待对象和过程，而舍弃其它的方面．为了进行抽象，又必须首先进行分析，把事物的各种属性分离出来，进而从中选取某种本质属性，而舍弃那些非本质或次要的方面．　　由于学科、研究过程和目的不同，对同一事物，可以有不同的考察角度，因而什么是本质属性

2、，也有所不同，这样也就可以获得不同的抽象．例如，同是建筑一座大楼，建筑学家要考虑其结构性能，施工者要考虑省工省料，使用者要考虑其通风采光，而数学家则从数量关系和空间形式去考察它．　　概括就是把若干事物共同的属性联合起来考察的方法．例如，我们从日出日落，潮涨潮退，一年四季及正弦曲线、余弦曲线的图象等，观察到这样的共同属性：当函数的自变量增加到一定数值时，函数值可以重复出现．我们把这些个别事物的各自的属性联合起来考察，发现了它们的共同性质．变化的周期性．　　由上面可以看到，抽象和概括都必须从分离对象的属性开始，这就是分析；又必须把有关的属性结合起来，这就是综合．抽象所结合的是“本质的属性”，

3、概括所结合的则是“共同的属性”；抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及多个对象；抽象服从考察的角度，而概括则由多个对象本身决定．　　在实际研究过程中，抽象和概括常常是联系着的．单纯的概括可能得出所考察对象的全部共同属性，其中一些属性是多余的，不符合研究需要，因此，概括通常在研究目标即考察角度的指导下进行，称为抽象概括．抽象概括是把一类事物共同的本质属性联合起来考察，进而形成概念或对规律的认识．　　二、数学研究中的抽象与概括　　科学的抽象与概括的方法，在数学研究中起着重要的作用，它们对于数学概念的形成、发展和推广都有重要的意义．数学对象、概念、方法、符号等，都是经过科学抽象得来的，许多概念、

4、性质的推广，都用到了概括的方法．　　抽象与概括作为重要的数学方法，在数学研究中应用十分广泛．下面介绍几种在数学中常用的抽象方法．　　1．等价抽象．　　在数学研究中，把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其它性质，这种抽象方法称为等价抽象．例如，对于两个集合来说，如果能够在它们的元素之间建立起一一对应关系，则称它们为对等的集合．把一切对等集合在数量上的共同特征抽象出来，就得到了各个自然数的概念．如与一只手的手指的集合对等的一切集合在数量上的共同特征抽象出来就得到自然数“5”．这种抽象就是等价抽象．又如，两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例，具有这样的性质的三角形，它们都具有相同的形

5、状．把三角形这种相同的性质和形状的特点抽象出来就得到相似三角形的概念．这也是等价抽象．再如，在自然数中有的数被一个自然数除，都得到相同的余数(如2，7，12，17，……被5除都得到余数2)，从这类自然数的共同特征抽象得到同余数的概念，也是等价抽象．　　我们知道，类似上述三例中所研究的对象之间的关系：一一对应、相似、同余等，都具有这样的重要特点：即自反性、对称性和传递性．在数学中，具有这三个特点的关系称为等价关系，所以这种抽象也叫做等价抽象．也就是说，从研究对象中抽取出它们的共同性质的抽象方法即为等价抽象．　　2．理想化抽象．　　所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非客观事物本身

6、存在的东西，而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的，甚至是假想出来的概念和性质．　　例如，在数学中从单摆运动的过程抽象出极限概念时，把空气阻力和摩擦阻力等因素不计，即把这些阻力对单摆运动的影响看作零．显然，这样的数学单摆只是在抽象中存在，与实际的物理单摆相分离．这样，从数学单摆再抽象出极限概念，就是理想化的抽象．又如，在几何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界也是不存在的，都是经过人们的智慧加工得来的理想化概念．几何中的“点”是从自然界中物体的大小无限地减少可能得到的结果，或者在物体的大小比较中，大大可以忽略不计的物体中抽象得来的，而且把它理想化为无长、无宽、无高的“

7、点”．同样，“直线”、“平面”等抽象概念，也都是经过这样的理想化而得到的．　　在数学中，往往在原有的对象中引入理想化元素，创造出新的数学理论．例如在平面几何中，如果引入无限远点(理想化元素)并把平行的两条直线看成在无限远点相交，那么，我们就得到一个命题：“两条直线必交于一点，有可能交于两点．”这与欧氏几何中的“两条直线至多有一个交点”的结论就有所不同了．又如，在实数中解方程遇到负数开偶次方的问题，在实数的基础上引入理想化元素——虚数